Integrale Irrazionale.

[gasse1985]

ciao , vi scrivo per un aiuto su questo esercizio

$\int sqrt(-x^2+4x) dx$

ho provato per parti sceglendo 1 come la derivata di X ma arrivo qui

$\int sqrt(-x^2+4x) dx$ = $x*sqrt(-x^2+4x) $ - $\int ( -2x^2+4x)/( sqrt(-x^2+4x))dx$

e non ne vengo più fuori ....

ho provato anche con la sostituzione invece che per parti ma anche cosi non riesco ad arrivare a nulla ......

[misanino]

Ciò che hai sotto l'integrale è una semicirconferenza.
In generale se ho la semicirconferenza di raggio 1 e centro (0,0), cioè $sqrt(-x^2+1)$, e devo calcolarne l'integrale $\int sqrt(-x^2+1) dx$ si deve fare la sostituzione $x=cos(t)$.
In questo caso la tua semicirconferenza è $sqrt(-x^2+4x)$ che ha centro in (2,0). Prima di tutto io quindi farei la sostituzione $x=2-y$ e così ho
$\int -sqrt(-y^2+4) dy$
Poi raccolgo il 4 sotto radice e lo porto fuori e ho:
$\int -2sqrt((-\frac{y^2}{4}+1) )dy$=$\int -2sqrt((-(\frac{y}{2})^2+1)) dy$.
A questo punto puoi fare la tua sostituzione $\frac{y}{2}=cos(t)$ e fare i calcoli ricordando che $sqrt(-cos(t)^2+1)$=$sqrt(sen(t)^2)$=$sen(t)$

[baldo891]

prova a porre $-x^2+4x=y^2$

[gasse1985]

prima di tutto grazie misanino, ok ho provato come hai detto te e l'integrale mi viene cosi :

$2t-sen(2t)$

ma adesso come lo riporto in x?? io ho risostituito ma mi viene un bel casino tipo sen di arccos ecc...

[misanino]

Ammesso che il risultato sia giusto (mi fido dei tuoi calcoli perchè non ho voglia di farli e comunque dovrebbe uscire una cosa tipo quella che hai detto tu) allora:
tu hai $2t-sen(2t)$ e $cost=\frac{y}{2}$ e $x=2-y$ e cioè $y=2-x$ e quindi in totale $cos(t)= \frac{2-x}{2}
Allora $t=arcos(\frac{2-x}{2})$ e devi sostituire per forza questa roba quando hai solo t.
Invece $sen(2t)=2sen(t)cos(t)=2sen(t)*\frac{2-x}{2}$ e $sen(t)=sqrt(1-cos(t)^2)=sqrt(1-(\frac{2-x}{2})^2)$ da cui si ottiene $sen(2t)=2\frac{2-x}{2}sqrt(1-(\frac{2-x}{2})^2)=(2-x)sqrt(1-(\frac{2-x}{2})^2)$.
Perciò in definitiva hai
$2t-sen(2t)$=$2arcos(\frac{2-x}{2})-(2-x)sqrt(1-(\frac{2-x}{2})^2)$
So che il risultato ti può fare un po' schifo ma non c'è altro da fare.
Pensa che nel caso di
$\int sqrt(-x^2+1) dx$ il risultato è $\frac{1}{2}(x sqrt(-x^2+1) - arcos(x))$
e quindi non è molto meglio!
Un'ultima cosa: ricordati che il risultato degli integrali indefiniti è sempre a meno di una costante K e quindi il risultato è:
$2arcos(\frac{2-x}{2})-(2-x)sqrt(1-(\frac{2-x}{2})^2)+K$

[gasse1985]

ok capito !!! garzie ancora ! ah questo punto immagino che il sito che uso io per verificare le soluzioni sia un bel pacco ..... perchè mi da una soluzione diversa dai un occhio se puoi :

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%28-x^2%2B4x%29^%281%2F2%29&random=false

[misanino]

Prova a fare la derivata del risultato che hai ottenuto e vedi se ti esce $sqrt(-x^2+4x)$
Ricordati la derivata delle funzioni composte, del prodotto di funzioni e che $D(arcos(x))=\frac{1}{sqrt(1-x^2)}