Integrale irrazionale
ciao a tutti, non riesco a risolvere il seguente integrale, potete aiutarmi?
integrale rad(1+sin^2x)*cos(x)dx
gli estremi di integrazioni sono 0 e pi/2
integrale rad(1+sin^2x)*cos(x)dx
gli estremi di integrazioni sono 0 e pi/2
Risposte
Intendi questo? $int_0^(2pi) sqrt(1+sin^2(x))*cos(x)dx$
Beh fa zero, senza manco risolverlo
P.S. Ho letto male l'intervallo di integrazione
Beh fa zero, senza manco risolverlo
P.S. Ho letto male l'intervallo di integrazione
Ciao! anzitutto ti dico come si scrive correttamente quell'integrale:
Per risolvere l'integrale
$ \int_0 ^(\pi/2) \sqrt(1+\sin^2(x))\cos(x)\ dx$
Osserviamo che, guarda caso, il coseno che hai fuori dalla radice è proprio la derivata del seno, per cui è molto chiamato fare una sostituzione:
poniamo $\sin(x)=t$, allora andando a derivare a destra e sinistra otteniamo: $\cos(x)\ dx = dt$.
Troviamo i nuovi estremi:
se $x=0$ ottengo $t=\sin(0)=0$;
se $x=\pi/2$ ottengo $t=\sin(\pi/2)=1$
ed andiamo a sostituire nell'integrale:
$\int_0^(\pi/2) \sqrt(1+\sin^2(x))\cos(x)\ dx = \int_0^1 \sqrt(1+t^2)\ dt$.
A questo punto ci siamo ricondotti al calcolo di $\int \sqrt(1+t^2)\ dt$; possiamo procedere (ad esempio) nel seguente modo:
Effettuo la sostituzione $\sqrt(1+t^2)=u+t$; elevo al quadrato per ricavarmi $u$ in funzione di $t$:
$1+t^2=t^2+u^2+2ut$, da cui: $2ut=1-u^2 \Rightarrow t=(1-u^2)/(2u) $
a questo punto, differenziando ho:
$dt=(-1-u^2)/(2u^2) du$ e sostituisco nell'integrale:
$\int \sqrt(1+t^2)\ dt = \int (u+t) \cdot (-1-u^2)/(2u^2)\ du = \int \left((1-u^2)/(2u) +u\right)\cdot (-1-u^2)/(2u^2)\ du$
Svolgendo i conti arriviamo a:
$\int - ((1+u^2)^2)/(4u^3) \ dt = -\int (1+u^4+2u^2)/(4u^3) \ du = -\left[\int 1/(4u^3) \ du +\int u/4 \ du +\int 1/(2u) \ du\right] $
Integrando pezzo pezzo si ottiene:
$=1/(8u^2) -u^2/8 -1/2\log(u)$
Ricordiamo ora che abbiamo fatto la trasformazione $\sqrt(1+t^2)=t+u \Rightarrow u=\sqrt(1+t^2)-t$, abbiamo $ 1/(8u^2) -u^2/8 -1/2\log(u) = 1/2\left(t\sqrt(1+t^2) -\log(\sqrt(1+t^2)-t)\right) $
Calcolando tra $t=0$ e $t=1$ si ha:
$1/2 (\sqrt(2)-\log(\sqrt(2)-1) ) $
$ \int_0 ^(\pi/2) \sqrt(1+\sin^2(x))\cos(x)\ dx $
Per risolvere l'integrale
$ \int_0 ^(\pi/2) \sqrt(1+\sin^2(x))\cos(x)\ dx$
Osserviamo che, guarda caso, il coseno che hai fuori dalla radice è proprio la derivata del seno, per cui è molto chiamato fare una sostituzione:
poniamo $\sin(x)=t$, allora andando a derivare a destra e sinistra otteniamo: $\cos(x)\ dx = dt$.
Troviamo i nuovi estremi:
se $x=0$ ottengo $t=\sin(0)=0$;
se $x=\pi/2$ ottengo $t=\sin(\pi/2)=1$
ed andiamo a sostituire nell'integrale:
$\int_0^(\pi/2) \sqrt(1+\sin^2(x))\cos(x)\ dx = \int_0^1 \sqrt(1+t^2)\ dt$.
A questo punto ci siamo ricondotti al calcolo di $\int \sqrt(1+t^2)\ dt$; possiamo procedere (ad esempio) nel seguente modo:
Effettuo la sostituzione $\sqrt(1+t^2)=u+t$; elevo al quadrato per ricavarmi $u$ in funzione di $t$:
$1+t^2=t^2+u^2+2ut$, da cui: $2ut=1-u^2 \Rightarrow t=(1-u^2)/(2u) $
a questo punto, differenziando ho:
$dt=(-1-u^2)/(2u^2) du$ e sostituisco nell'integrale:
$\int \sqrt(1+t^2)\ dt = \int (u+t) \cdot (-1-u^2)/(2u^2)\ du = \int \left((1-u^2)/(2u) +u\right)\cdot (-1-u^2)/(2u^2)\ du$
Svolgendo i conti arriviamo a:
$\int - ((1+u^2)^2)/(4u^3) \ dt = -\int (1+u^4+2u^2)/(4u^3) \ du = -\left[\int 1/(4u^3) \ du +\int u/4 \ du +\int 1/(2u) \ du\right] $
Integrando pezzo pezzo si ottiene:
$=1/(8u^2) -u^2/8 -1/2\log(u)$
Ricordiamo ora che abbiamo fatto la trasformazione $\sqrt(1+t^2)=t+u \Rightarrow u=\sqrt(1+t^2)-t$, abbiamo $ 1/(8u^2) -u^2/8 -1/2\log(u) = 1/2\left(t\sqrt(1+t^2) -\log(\sqrt(1+t^2)-t)\right) $
Calcolando tra $t=0$ e $t=1$ si ha:
$1/2 (\sqrt(2)-\log(\sqrt(2)-1) ) $
"Bokonon":
Intendi questo? $int_0^(2pi) sqrt(1+sin^2(x))*cos(x)dx$
Beh fa zero, senza manco risolverlo
Attento Bokonon, gli estremi sono $0$ e $\pi/2$, non $2\pi$ (ci ero cascato anche io a prima vista)
"Lebesgue":
Attento Bokonon, gli estremi sono $0$ e $\pi/2$, non $2\pi$ (ci ero cascato anche io a prima vista)
Corretto!
...mi piace la tua tecnica di integrazione
"Bokonon":
...mi piace la tua tecnica di integrazione
Eh eh, oramai ho imparato il trucchetto
GRAZIE MILLE!
Bravo Lebesgue, sei riuscito a battere sul tempo pilloeffe, mentre leggevo il tuo intervento non avevo fatto caso all'autore. Quando ho visto che non era pilloeffe sono rimasto sorpreso. 
"dissonance":
Bravo Lebesgue, sei riuscito a battere sul tempo pilloeffe, mentre leggevo il tuo intervento non avevo fatto caso all'autore. Quando ho visto che non era pilloeffe sono rimasto sorpreso.
Ahaha grazie mille. Non sapevo di star partecipando ad una gara di rapidità nel rispondere
[ot]@Lebesgue: Nessuna gara di rapidità, anzi spero di non avere involontariamente offeso pilloeffe. Lui è un mago di questi calcoli, per questo di solito è il primo a risolverli qui sul forum, tu hai fatto un ottimo lavoro.
@pilloeffe: in realtà proprio ieri ti ho pensato. Lavoravo con un collega, un altro impressionante calcolatore umano, come te. A un certo punto mi tira fuori un libro di 800 pagine del 1920 e da lì scova una formula con funzioni di Bessel, in pieno stile tuo. Come abbia fatto a trovarla è un mistero. Poi si mette a fare una decina di pagine di calcoli perfetti, senza nessun errore, io lo guardavo con ammirazione e un pizzico di invidia.[/ot]
@pilloeffe: in realtà proprio ieri ti ho pensato. Lavoravo con un collega, un altro impressionante calcolatore umano, come te. A un certo punto mi tira fuori un libro di 800 pagine del 1920 e da lì scova una formula con funzioni di Bessel, in pieno stile tuo. Come abbia fatto a trovarla è un mistero. Poi si mette a fare una decina di pagine di calcoli perfetti, senza nessun errore, io lo guardavo con ammirazione e un pizzico di invidia.[/ot]
[ot]
E' che sono in ferie, do' un'occhiata al sito saltuariamente...
[/ot]
"dissonance":
Bravo Lebesgue, sei riuscito a battere sul tempo pilloeffe, mentre leggevo il tuo intervento non avevo fatto caso all'autore. Quando ho visto che non era pilloeffe sono rimasto sorpreso.
E' che sono in ferie, do' un'occhiata al sito saltuariamente...
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