Integrale $\int\sqrt{cos^4(\theta)+1}\d theta$

[manny881]

Ragazzi aiutatemi in questo integrale perché sto impazzendo
$\int\sqrt{cos^4(\theta)+1}\d theta$

[Paolo902]

Idee tue?

[manny881]

ho provato a farlo usando le formule di bisezione ma mi perdo per strada...

[ciampax]

Lascia perdere che muori giovane a provarci. E' un integrale ellittico (tra l'altro di quelli ellittici pesantemente) per cui mettersi lì a tentare di calcolarlo indefinitamente ti potrebbe uccidere.

Piuttosto: da cosa è venuto fuori questo integrale? Perché magari c'è qualcos'altro che tu puoi fare.

[manny881]

"ciampax":Lascia perdere che muori giovane a provarci. E' un integrale ellittico (tra l'altro di quelli ellittici pesantemente) per cui mettersi lì a tentare di calcolarlo indefinitamente ti potrebbe uccidere.
Piuttosto: da cosa è venuto fuori questo integrale? Perché magari c'è qualcos'altro che tu puoi fare.

allora quello che stavo cercando è la distanza tra due punti, i punti hanno queste coordinate, il risultato do devo poi integrare in $d \theta$:
$C=(rsen\theta ; rcos\theta)$
$G'=(rsen\theta+cos^2(\theta)((2r)/(3(pi-2))) ; rcos\theta+cos\theta cos(pi/2-\theta)((2r)/(3(pi-2))))$
non riscrivo i passaggi che mi hanno portato a questo integrale visto che sono lunghi e non portano a nulla... mi sono proprio complicato la vita
mi suggerite come posso trovare una via più rapida?

[ciampax]

Ah ecco. Però sai, se uno si scrive le coordinate così
$$C(r\sin\theta,r\cos\theta),\qquad G'(r\sin\theta+\alpha\cos^2\theta,r\cos\theta+\alpha\sin\theta\ \cos\theta)$$
avendo posto $\alpha={2r}/{3(\pi-2)}$ e avendo osservato che $\cos(\pi/2-\theta)=\sin\theta$, facendo i calcoli giusti si accorge che
$$CG'=\sqrt{\alpha^2\cos^4\theta+\alpha^2\sin^2\theta\ \cos^2\theta}=|\alpha\cos\theta|$$

[manny881]

"ciampax":Ah ecco. Però sai, se uno si scrive le coordinate così
$$C(r\sin\theta,r\cos\theta),\qquad G'(r\sin\theta+\alpha\cos^2\theta,r\cos\theta+\alpha\sin\theta\ \cos\theta)$$
avendo posto $\alpha={2r}/{3(\pi-2)}$ e avendo osservato che $\cos(\pi/2-\theta)=\sin\theta$, facendo i calcoli giusti si accorge che
$$CG'=\sqrt{\alpha^2\cos^4\theta+\alpha^2\sin^2\theta\ \cos^2\theta}=|\alpha\cos\theta|$$

ok ho trovato l'inghippo pure nella mia in sostanza la radice l'avevo scritta giusta ma non ho proprio pensato a sostituire gli angoli con $\Alpha$ , quindi non mi ero reso conto che potevo semplificare molto sotto la radice e soprattutto che poteso usare calcoli molto più immediati
che erroracci

la prossima volta mi conviene scriverli meglio
Grazie ciampax