Integrale indefinito svolto con formula di Taylor
Vorrei chiedervi se lo svolgimento del seguente integrale sia corretto o meno, non essendo sicuro di come utilizzare la formula di Taylor.
$ int (e^x)/(e^(2x)+e^x+1)+(arctgsqrtx)/((1+x)*sqrtx) dx $
$ int (e^x)/(e^(2x)+e^x+1) dx + int(arctgsqrtx)/((1+x)*sqrtx) dx $
$ int (1+x)/(1+2x+1+x+1)dx + int sqrtx/((1+x)*sqrtx) dx $
$ 1/3*int (1+x)/(x+1)dx + int 1/(1+x) dx $
$ 1/3x + log |x+1| +c $
Gli sviluppi di Taylor sarebbero:
$ e^x=1+x+x^2/(2!)+x^3/(3!)+... $
$ arctgx= x-x^3/3 +x^5/5 -x^7/7 + ... $
$ int (e^x)/(e^(2x)+e^x+1)+(arctgsqrtx)/((1+x)*sqrtx) dx $
$ int (e^x)/(e^(2x)+e^x+1) dx + int(arctgsqrtx)/((1+x)*sqrtx) dx $
$ int (1+x)/(1+2x+1+x+1)dx + int sqrtx/((1+x)*sqrtx) dx $
$ 1/3*int (1+x)/(x+1)dx + int 1/(1+x) dx $
$ 1/3x + log |x+1| +c $
Gli sviluppi di Taylor sarebbero:
$ e^x=1+x+x^2/(2!)+x^3/(3!)+... $
$ arctgx= x-x^3/3 +x^5/5 -x^7/7 + ... $
Risposte
Ma che...mica puoi usare Taylor in questo modo...
Mi potresti spiegare come risolverlo cortesemente?
Ciao Tr4mster,
Si ha:
$ int [(e^x)/(e^(2x)+e^x+1)+(arctan sqrtx)/((1+x) sqrtx)] dx = int (e^x)/(e^(2x)+e^x+1) dx + int(arctan sqrtx)/((1+x) sqrtx) dx $
Il primo integrale si risolve abbastanza facilmente ponendo $t := e^x \implies dt = e^x dx = t dx \implies dx = dt/t $:
$ int (e^x)/(e^(2x)+e^x+1) dx = int dt/(t^(2)+t+1) = int dt/((t + 1/2)^2+(sqrt{3}/2)^2) = 4/3 int dt/((frac{2t + 1}{sqrt{3}})^2+ 1) = $
$ = 4/3 \cdot sqrt{3}/2 int (du)/(u^2+ 1) = 2/sqrt{3} arctan(u) + c = 2/sqrt{3} arctan(frac{2t + 1}{sqrt{3}}) + c = $
$ = 2/sqrt{3} arctan(frac{2e^x + 1}{sqrt{3}}) + c $
Il secondo integrale è solo apparentemente complicato, perché in realtà basta porre $t := sqrt{x} \implies dt = frac{dx}{2 sqrt x} \implies dx = 2t dt $ per trovarsi di fronte ad un integrale del tipo $int [f(t)]^{alpha} f'(t) dt = frac{[f(t)]^{alpha + 1}}{\alpha + 1} + c $ con $f(t) := arctan(t) $ e $\alpha = 1 $, per cui si ha:
$int(arctan sqrtx)/((1+x) sqrtx) dx = 2 int(arctan t)/(1+t^2) dt = arctan^2 t + c = arctan^2 sqrt{x} + c $
In definitiva si ha:
[tex]\begin{equation}
\boxed{\int \bigg[\frac{e^x}{e^{2x} + e^x + 1}+ \frac{\arctan \sqrt{x}}{(1+x) \sqrt{x}}\bigg] dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\bigg(\frac{2e^x + 1}{\sqrt{3}}\bigg) + \arctan^2 \sqrt{x} + c}
\end{equation}[/tex]
Si ha:
$ int [(e^x)/(e^(2x)+e^x+1)+(arctan sqrtx)/((1+x) sqrtx)] dx = int (e^x)/(e^(2x)+e^x+1) dx + int(arctan sqrtx)/((1+x) sqrtx) dx $
Il primo integrale si risolve abbastanza facilmente ponendo $t := e^x \implies dt = e^x dx = t dx \implies dx = dt/t $:
$ int (e^x)/(e^(2x)+e^x+1) dx = int dt/(t^(2)+t+1) = int dt/((t + 1/2)^2+(sqrt{3}/2)^2) = 4/3 int dt/((frac{2t + 1}{sqrt{3}})^2+ 1) = $
$ = 4/3 \cdot sqrt{3}/2 int (du)/(u^2+ 1) = 2/sqrt{3} arctan(u) + c = 2/sqrt{3} arctan(frac{2t + 1}{sqrt{3}}) + c = $
$ = 2/sqrt{3} arctan(frac{2e^x + 1}{sqrt{3}}) + c $
Il secondo integrale è solo apparentemente complicato, perché in realtà basta porre $t := sqrt{x} \implies dt = frac{dx}{2 sqrt x} \implies dx = 2t dt $ per trovarsi di fronte ad un integrale del tipo $int [f(t)]^{alpha} f'(t) dt = frac{[f(t)]^{alpha + 1}}{\alpha + 1} + c $ con $f(t) := arctan(t) $ e $\alpha = 1 $, per cui si ha:
$int(arctan sqrtx)/((1+x) sqrtx) dx = 2 int(arctan t)/(1+t^2) dt = arctan^2 t + c = arctan^2 sqrt{x} + c $
In definitiva si ha:
[tex]\begin{equation}
\boxed{\int \bigg[\frac{e^x}{e^{2x} + e^x + 1}+ \frac{\arctan \sqrt{x}}{(1+x) \sqrt{x}}\bigg] dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\bigg(\frac{2e^x + 1}{\sqrt{3}}\bigg) + \arctan^2 \sqrt{x} + c}
\end{equation}[/tex]
"pilloeffe":
Ciao Tr4mster,
Si ha:
$ int [(e^x)/(e^(2x)+e^x+1)+(arctan sqrtx)/((1+x) sqrtx)] dx = int (e^x)/(e^(2x)+e^x+1) dx + int(arctan sqrtx)/((1+x) sqrtx) dx $
Il primo integrale si risolve abbastanza facilmente ponendo $ t := e^x \implies dt = e^x dx = t dx \implies dx = dt/t $:
$ int (e^x)/(e^(2x)+e^x+1) dx = int dt/(t^(2)+t+1) = int dt/((t + 1/2)^2+(sqrt{3}/2)^2) = 4/3 int dt/((frac{2t + 1}{sqrt{3}})^2+ 1) = $
$ = 4/3 \cdot sqrt{3}/2 int (du)/(u^2+ 1) = 2/sqrt{3} arctan(u) + c = 2/sqrt{3} arctan(frac{2t + 1}{sqrt{3}}) + c = $
$ = 2/sqrt{3} arctan(frac{2e^x + 1}{sqrt{3}}) + c $
Il secondo integrale è solo apparentemente complicato, perché in realtà basta porre $ t := sqrt{x} \implies dt = frac{dx}{2 sqrt x} \implies dx = 2t dt $ per trovarsi di fronte ad un integrale del tipo $ int [f(t)]^{alpha} f'(t) dt = frac{[f(t)]^{alpha + 1}}{\alpha + 1} + c $ con $ f(t) := arctan(t) $ e $ \alpha = 1 $, per cui si ha:
$ int(arctan sqrtx)/((1+x) sqrtx) dx = 2 int(arctan t)/(1+t^2) dt = arctan^2 t + c = arctan^2 sqrt{x} + c $
In definitiva si ha:
\( \begin{equation} \boxed{\int \bigg[\frac{e^x}{e^{2x} + e^x + 1}+ \frac{\arctan \sqrt{x}}{(1+x) \sqrt{x}}\bigg] dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\bigg(\frac{2e^x + 1}{\sqrt{3}}\bigg) + \arctan^2 \sqrt{x} + c} \end{equation} \)
Grazie mille per esserti presa/o la briga di scrivere tutto l'esercizio. Hai specificato ogni minima cosa e questo mi ha permesso di capire ogni passaggio. Grazie ancora.
Comunque, al di là dello svolgimento dell'esercizio, spero tu ti sia reso conto che usare in quel modo gli sviluppi di Taylor è un'assurdità... le approssimazioni che hai usato valgono solo quando gli argomenti di quelle funzioni tendono a zero nell'intorno di un certo punto.
Qui stai calcolando una famiglia di primitive, non c'è nessun intorno di nessun punto...
Qui stai calcolando una famiglia di primitive, non c'è nessun intorno di nessun punto...
Quindi, quando si ha a che fare con gli integrali, non si può applicare la scomposizione tramite formula di Taylor?
"Weierstress":
le approssimazioni che hai usato valgono solo quando gli argomenti di quelle funzioni tendono a zero nell'intorno di un certo punto.
L'integrale indefinito è la famiglia delle primitive, tutto qua. Taylor è su un altro pianeta, non ha niente da fare qui, zero, nada. Per gli integrali impropri (o talvolta anche per gli integrali definiti, in certi esercizi di approssimazione) è un'altra storia.
Ok, chiaro.
Scusa se ne approfitto, ma mi sorge una domanda. Quando considero una serie che viene valutata fino a +infinito, ho una tendenza verso infinito... in questo caso lo si considera comunque come un avvicinarsi ad un x0 e quindi si possono approssimare le funzioni con Taylor, o ancora una volta sono cose del tutto separate?
Scusa se ne approfitto, ma mi sorge una domanda. Quando considero una serie che viene valutata fino a +infinito, ho una tendenza verso infinito... in questo caso lo si considera comunque come un avvicinarsi ad un x0 e quindi si possono approssimare le funzioni con Taylor, o ancora una volta sono cose del tutto separate?
Puoi sviluppare con Taylor nell'intorno di $+oo$, sì, a patto che sia sensato farlo. Ad esempio, se la serie è a termini positivi, è possibile sfruttare il criterio del confronto asintotico (e quindi in particolare usare gli sviluppi di Taylor per semplificare il termine generale).
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