Integrale indefinito, risoluzione per parti
Salve a tutti, avrei bisogno di una mano nel capire la risoluzione di un integrale:
$ int_()^() xcos^2x $
L'imbeccata è quella di risolvere per parti, ma non riesco a capire quale delle 2 funzioni considerare come derivata. Ho provato con entrambe ma i calcoli si complicano.
Grazie per l'aiuto
$ int_()^() xcos^2x $
L'imbeccata è quella di risolvere per parti, ma non riesco a capire quale delle 2 funzioni considerare come derivata. Ho provato con entrambe ma i calcoli si complicano.
Grazie per l'aiuto
Risposte
$int xcos^2(x)= int x - int sen^2 x$
di questi l'integale che non conosci e quello del seno $int sen^2x= cosxsenx - int (cos^2x)$
poi ti svolgi il $int cos^2 x= -senxcosx + int sen^2 x$
da cui segue che $int sen^2 x= cosxsenx + cosxsenx - int sen^2 x$ (avevamo un meno fuori dal simbolo di integrale perciò ho cambiato i segni)
da cui $2 int sen^2x= 2 cosxsenx => int sen^2x= cosx sen x$
riportando nell'equivalenza iniziale si ha che
$int xcos^2x= int x - int sen^2x= x^2/2 - cosx senx$
di questi l'integale che non conosci e quello del seno $int sen^2x= cosxsenx - int (cos^2x)$
poi ti svolgi il $int cos^2 x= -senxcosx + int sen^2 x$
da cui segue che $int sen^2 x= cosxsenx + cosxsenx - int sen^2 x$ (avevamo un meno fuori dal simbolo di integrale perciò ho cambiato i segni)
da cui $2 int sen^2x= 2 cosxsenx => int sen^2x= cosx sen x$
riportando nell'equivalenza iniziale si ha che
$int xcos^2x= int x - int sen^2x= x^2/2 - cosx senx$
la funzione integranda non è un prodotto di 2 funzioni, ma di 3... quindi ti rimane ancora un caso da provare e dovrebbe venire un integrale "ciclico"
"Ma.Gi.Ca. D":
$int xcos^2(x)= int x - int sen^2 x$
Cosa cosa?Io procederei tenendo presente che $cos^2 x=1/2*(cos(2x)+1)$:
$int x cos^2x dx= int x*1/2*(cos(2x)+1) dx=1/2 int x*cos(2x) dx+ 1/2 int x dx
Il secondo integrale è semplicissimo, mentre per il primo conviene risolvere per parti.
@Ma.Gi.Ca. D: Intanto grazie per la risposta, l'unica che non capisco è l'equivalenza iniziale, il resto del discorso riesco a seguirlo, ma poi il risultato mi sembra diverso da quello che ho, che sarebbe:
$ 1/2(xsinxcosx-(sin^2x)/2 + (x^2)/2) +c $
Penso che l'errore se c'è è nella premessa iniziale.
$ 1/2(xsinxcosx-(sin^2x)/2 + (x^2)/2) +c $
Penso che l'errore se c'è è nella premessa iniziale.
prima relazione fondamentale $1 = cos^2 x +sin^2 x$
quello che non capisco è il $cos^2x = (1/2)(cos(2x) + 1)$ e non mi sembra centri con la relazione fondamentale
"No_Rules":
quello che non capisco è il $cos^2x = 1/2*(cos(2x) + 1)$ e non mi sembra centri con la relazione fondamentale
Infatti non c'entra niente. Deriva piuttosto dalla formula di duplicazione del coseno: $cos(2x)=2cos^2x-1$
Penso che francescop21 intendesse che si sfrutta la relazione fondamentale per giustificare ciò che ha scritto Ma.Gi.Ca. D.
Ma in realtà c'è un errore di fondo: $xcos^2x=x(1-sin^2x)=x-xsin^2x$, e non $xcos^2x=x-sin^2x$. Ok?
scusa avevo letto male quello che avevo scritto Ma.Gi.Ca D... xD
secondo me devi considerare la funzione intgranda in questo modo $(x \cdot cos(x)) \cdot cos(x)$
secondo me devi considerare la funzione intgranda in questo modo $(x \cdot cos(x)) \cdot cos(x)$
scusatemi ho commesso un errore idiota! cmq potresti partire proprio dalla relazione della duplicazione del coseno ponendo $cos^2 x = cos2x + 1$...
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