Integrale indefinito per sostituzione
Salve a tutti ragazzi ho un problema nel risolvere questo integrale:
$intsqrt(3-x^2)dx$
Il libro mi propone la sostituzione $x=sqrt(3)sint$ ma non capisco assolutamente come mai abbia usato questa sostituzione
$intsqrt(3-x^2)dx$
Il libro mi propone la sostituzione $x=sqrt(3)sint$ ma non capisco assolutamente come mai abbia usato questa sostituzione
Risposte
Lo scopo è quello di ricondurre l'integrale a un integrale che sappiamo risolvere in maniera più semplice, infatti tale sostituzione porta a un integrale di funzioni goniometriche; quest'ultimo si può risolvere agevolmente usando formule di trigonometria.
@Mephlip: risposta che però non risponde alla domanda posta dall'utente.
Vediamo un esempio con un triangolo rettangolo.
ed utilizziamo un noto teorema:
Quindi si vede bene che $x=sqrt(3)sint$
....che è la sostituzione proposta dal libro.
saluti
Vediamo un esempio con un triangolo rettangolo.
ed utilizziamo un noto teorema:
In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è data dal prodotto dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto.
Quindi si vede bene che $x=sqrt(3)sint$
....che è la sostituzione proposta dal libro.
saluti
"tommik":
@Mephlip: risposta che però non risponde alla domanda posta dall'utente.
Non saprei, non è chiarissimo cosa voglia sapere colui che domanda: sapere perché quella specifica sostituzione venga effettuata in modo da semplificare la funzione integranda o sapere da dove viene dedotta.
In effetti avrei potuto chiedergli/le quale fosse il suo dubbio, in ogni caso sicuramente la tua risposta chiarisce sotto ogni aspetto la seconda ipotesi!
Il motivo euristico è che gli integrandi del tipo $y=sqrt(r^2-x^2)$ ricordano l'equazione della circonferenza $x^2+y^2=r^2$; dunque, le funzioni goniometriche potrebbero funzionare.
Ad ogni modo, uno può fare il conto anche in altra maniera.
Ad esempio, visto che l'integrando è definito in $[-sqrt(3) , sqrt(3)]$, puoi scrivere:
\[
\sqrt{3-x^2} = \sqrt{(\sqrt{3} - x)(\sqrt{3} + x)} = (\sqrt{3} + x)\ \sqrt{\frac{\sqrt{3} - x}{\sqrt{3} + x}}
\]
e sostituire $t= \sqrt{\frac{\sqrt{3} - x}{\sqrt{3} + x}}$... Ma si vede che questa sostituzione porta a calcoli immondi e non conviene.
Morale della favola: usa le funzioni goniometriche, conviene.
Ad ogni modo, uno può fare il conto anche in altra maniera.
Ad esempio, visto che l'integrando è definito in $[-sqrt(3) , sqrt(3)]$, puoi scrivere:
\[
\sqrt{3-x^2} = \sqrt{(\sqrt{3} - x)(\sqrt{3} + x)} = (\sqrt{3} + x)\ \sqrt{\frac{\sqrt{3} - x}{\sqrt{3} + x}}
\]
e sostituire $t= \sqrt{\frac{\sqrt{3} - x}{\sqrt{3} + x}}$... Ma si vede che questa sostituzione porta a calcoli immondi e non conviene.
Morale della favola: usa le funzioni goniometriche, conviene.
@tommik:
[ot]Bello! È una risposta originale. Mi piace l'idea di vedere la cosa con un disegnino. Sarebbe interessante fare un esempio con disegnino anche per il calcolo di integrali che coinvolgono le funzioni iperboliche. Per esempio, per calcolare \[\int_0^t \sqrt{1+x^2}\, dx, \]
si può sostituire \(x=\sinh(y).\)[/ot]
[ot]Bello! È una risposta originale. Mi piace l'idea di vedere la cosa con un disegnino. Sarebbe interessante fare un esempio con disegnino anche per il calcolo di integrali che coinvolgono le funzioni iperboliche. Per esempio, per calcolare \[\int_0^t \sqrt{1+x^2}\, dx, \]
si può sostituire \(x=\sinh(y).\)[/ot]
"gugo82":
Morale della favola: usa le funzioni goniometriche, conviene.
Secondo me il metodo più semplice di risolvere quell'integrale è per parti, senza sostituzioni trigonometriche
Vi ringrazio a tutti la risposta. La spiegazioni sono state tutte chiare, anche se il disegno ha reso meglio l'idea. Ho afferrato a pieno il concetto. Ogni volta che troverò un integrale del tipo $sqrt(a^2+-x^2)$ userò questa notevole semplificazione
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