Integrale indefinito per sostituzione.

[FM931]

Buon pomeriggio ,
mi servirebbe sapere se svolgimento e risultato di questo esercizio sono corretti:

Determinare le primitive della funzione

$ \int \frac{arctan\sqrt{lnx-1}}{x}dx $ e precisarne il loro dominio.

SVOLGIMENTO

$ \int \frac{arctan\sqrt{lnx-1}}{x}dx=\int \frac{arctan\sqrt{lnx-1}}{x}dx*\frac{2x^2\sqrt{lnx-1}}{2x^2\sqrt{lnx-1}}= $

$ \int \frac{arctan\sqrt{lnx-1}}{2x\sqrt{lnx-1}}*2\sqrt{lnx-1} $ $ rArr $ \( \sqrt{lnx-1}= t\;\;\;\;\;\frac{1}{2x\sqrt{lnx-1}}=dt \)

\( \Rightarrow \int arctan(t)(2t)dt=arctan(t)(2t)-\int \frac{1}{1+t^2}(2t)dt= \)

\( arctan(t)(2t)-[\frac{1}{1+t^2}(2t)-\int 2\cdot \frac{1}{1+t^2}dt= \)

\( arctan(t)(2t)-[\frac{1}{1+t^2}(2t)-2arctan(t)]+c= \)

\( arctan(t)(2t)-\frac{1}{1+t^2}(2t)+2arctan(t)+c= \)

\( arctan(\sqrt{lnx-1})(2\sqrt{lnx-1})-\frac{1}{lnx}(2\sqrt{lnx-1})+2arctan(\sqrt{lnx-1})+c \)

\( Dominio\;\; x\geq e \)

[Lo_zio_Tom]

l'idea è giusta però:

nella razionalizzazione $(2x^2sqrt(logx-1))/(2x^2sqrt(logx-1))$ la $x^2$ non serve a nulla...infatti la semplifichi subito dopo; inoltre la formula di integrazione per parti non va bene....

"FM93":
\( \Rightarrow \int arctan(t)(2t)dt=arctan(t)(2t)-\int \frac{1}{1+t^2}(2t)dt= \)

$intf(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-intf'(x)g(x)dx$

e quindi

$intarctan(t)2tdt= arctan(t)t^2-intt^2/(1+t^2)dt$

sei d'accordo? Il resto non l'ho guardato (manca qualche $dx$ qua e là....ma sono errori di copiatura)

[FM931]

Si su entrambi i punti.
Sistemo e se ho problemi posto di nuovo.
Grazie