Integrale indefinito per parti

[angelo.intile]

Ciao ragazzi mi aiutate con la risoluzione di questo integrale, mediante il metodo di risoluzione per parti ?

\( x *cos^2x dx \)

[Summerwind78]

Ciao

tu come hai provato a farlo?

[angelo.intile]

"Summerwind78":Ciao

tu come hai provato a farlo?

Io ho iniziato ponendo come g'=x e come f=(cos^2)x , e mi viene fuori questo:

(cos^2)x * ((x^2)/2) - int ( 2*cosx*senx*((x^2)/2)

Non so come continuare adesso

[Summerwind78]

Ciao


se poni $u = x$ e $v' = cos^2 (x)$ pertanto anche $u' = 1$

ricaviamo adesso $v$ calcolando l'integrale di $cos^2 (x)$

per prima cosa riscriviamo $cos^2 (x) = 1/2 + 1/2 cos(2x)$

quindi

[tex]\displaystyle \int \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (2x) dx = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2x) dx =

\frac{1}{2} \left( \int 1 dx + \int \cos (2x) dx \right) = \frac{1}{2} \left( x + \int \cos (2x) dx \right)[/tex]

vedendo ora

[tex]\displaystyle \int \cos (2x) dx[/tex]

pongo $u=2x -> du = 2dx -> dx = 1/2 du$

[tex]\displaystyle \int \cos (2x) dx = \frac{1}{2} \int \cos (u) du = \frac{1}{2} \sin(u) = \frac{1}{2} \sin(2x)[/tex]


quindi tornando a prima

[tex]\displaystyle \int \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (2x) dx = \frac{1}{2} \left( x + \int \cos (2x) dx \right)

= \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{2} \sin(2x) \right)[/tex]


quindi abbiamo

[tex]\displaystyle v = \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{2} \sin(2x) \right)
= \frac{1}{4} \left( 2x + \sin(2x) \right)[/tex]


usando quindi la regola dell'integrale per parti

$\int uv' dx = uv - \int u' v dx $

ottieni che

[tex]\displaystyle

\int x \cos^{2} (x) dx = \frac{x}{4} (2x+\sin(2x)) - \frac{1}{4} \int 2x+\sin(2x) dx[/tex]


Ora prova a proseguire tu