Integrale indefinito (funzione razionale fratta)
Ciao ragazzi, giorno 2 febbraio ho l'esame scritto di analisi 1, e mi sto esercitando nello svolgere diversi integrali, mi aiutate nel risolvere questo !?
Risposte
Poni $t=e^x$ ...
"axpgn":
Poni $t=e^x$ ...
Ho fatto questo cambio di variabile, poi ho fatto la divisione tra il polinomio del numeratore e quello del denominatore, e mi viene fuori questo:
\( y-2+[(13y+8)/(y^2+2y+4)]\)
Non riesco ad andare avanti adesso, perché non saprei come scomporre il denominatore
Io farei così ...
$int (e^(3x)+5e^x)/(e^(2x)+2e^x+4)\ dx\ =\ int ((e^(2x)+5)e^x)/(e^(2x)+2e^x+4)\ dx$
Pongo $t=e^x$ dalla quale $dt=e^x\ dx$ per cui $int (t^2+5)/(t^2+2t+4)\ dt\ =>\ int t^2/(t^2+2t+4)\ dt+int 5/(t^2+2t+4)\ dt$
Il secondo diventa così $5int 1/(t^2+2t+4)\ dt$ mentre il primo dopo la divisione diventa così $int dx -int (2t+4)/(t^2+2t+4)\ dx$.
Vai avanti tu ...
Cordialmente, Alex
$int (e^(3x)+5e^x)/(e^(2x)+2e^x+4)\ dx\ =\ int ((e^(2x)+5)e^x)/(e^(2x)+2e^x+4)\ dx$
Pongo $t=e^x$ dalla quale $dt=e^x\ dx$ per cui $int (t^2+5)/(t^2+2t+4)\ dt\ =>\ int t^2/(t^2+2t+4)\ dt+int 5/(t^2+2t+4)\ dt$
Il secondo diventa così $5int 1/(t^2+2t+4)\ dt$ mentre il primo dopo la divisione diventa così $int dx -int (2t+4)/(t^2+2t+4)\ dx$.
Vai avanti tu ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Io farei così ...
$int (e^(3x)+5e^x)/(e^(2x)+2e^x+4)\ dx\ =\ int ((e^(2x)+5)e^x)/(e^(2x)+2e^x+4)\ dx$
Pongo $t=e^x$ dalla quale $dt=e^x\ dx$ per cui $int (t^2+5)/(t^2+2t+4)\ dt\ =>\ int t^2/(t^2+2t+4)\ dt+int 5/(t^2+2t+4)\ dt$
Il secondo diventa così $5int 1/(t^2+2t+4)\ dt$ mentre il primo dopo la divisione diventa così $int dx -int (2t+4)/(t^2+2t+4)\ dx$.
Vai avanti tu ...
Cordialmente, Alex
Il problema è sempre quel denominatore, come si può scomporre !?
Non si può scomporre, è irriducibile (discriminante negativo)!
Questo tipo di integrale ($5int (dt)/(t^2 +2t+4)$) si può risolvere completando il quadrato al denominatore ed in questo caso così $(t+1)^2+3$; in tal modo ci si riconduce a questa forma $int (dx)/(x^2+a^2)$ la cui soluzione è $1/a*arctan(x/a)+C$.
Chiaro?
Prosegui tu ...
Cordialmente, Alex
Questo tipo di integrale ($5int (dt)/(t^2 +2t+4)$) si può risolvere completando il quadrato al denominatore ed in questo caso così $(t+1)^2+3$; in tal modo ci si riconduce a questa forma $int (dx)/(x^2+a^2)$ la cui soluzione è $1/a*arctan(x/a)+C$.
Chiaro?
Prosegui tu ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Non si può scomporre, è irriducibile (discriminante negativo)!
Questo tipo di integrale ($5int (dt)/(t^2 +2t+4)$) si può risolvere completando il quadrato al denominatore ed in questo caso così $(t+1)^2+3$; in tal modo ci si riconduce a questa forma $int (dx)/(x^2+a^2)$ la cui soluzione è $1/a*arctan(x/a)+C$.
Chiaro?
Prosegui tu ...
Cordialmente, Alex
Ma $(t+1)^2+3$ sarebbe uguale a $(x^2+a^2)$ ? Il +3 dove va a finire !?
$a=sqrt(3)\ =>\ a^2=3$ ... e ovviamente $(t+1)=x\ =>\ (t+1)^2=x^2$
Cordialmente, Alex
P.S.: per favore, non quotare l'intero messaggio ma solo la parte eventualmente interessante ...
Cordialmente, Alex
P.S.: per favore, non quotare l'intero messaggio ma solo la parte eventualmente interessante ...
"axpgn":
$\int t^2/(t^2+2t+4)\ dt$
Questo come si può risolvere !?
Ma non hai visto come l'ho scomposto?
"angelointi94":[/quote]
[quote="axpgn"]$5int (dt)/(t^2 +2t+4)$
Hai scomposto questo tu, io ti ho chiesto l'altro pezzo con il $t^2$ al numeratore.
Naaaa, allora non leggi quello che ti si dice ... 
Cosa c'è scritto qui?
E lo hai pure quotato ...
...
Comunque, cosa non ti torna in questi due $ int dx -int (2t+4)/(t^2+2t+4)\ dx $ ?
Cosa c'è scritto qui?
"axpgn":
Pongo $ t=e^x $ dalla quale $ dt=e^x\ dx $ per cui $ int (t^2+5)/(t^2+2t+4)\ dt\ =>\ int t^2/(t^2+2t+4)\ dt+int 5/(t^2+2t+4)\ dt $
Il secondo diventa così $ 5int 1/(t^2+2t+4)\ dt $ mentre il primo dopo la divisione diventa così $ int dx -int (2t+4)/(t^2+2t+4)\ dx $.
E lo hai pure quotato ...
...Comunque, cosa non ti torna in questi due $ int dx -int (2t+4)/(t^2+2t+4)\ dx $ ?
Perdonami hai ragione non avevo letto quella frase 
Comunque questo qui non riesco a risolvere $int (2t+4)/(t^2+2t+4)\ dx$
Comunque questo qui non riesco a risolvere $int (2t+4)/(t^2+2t+4)\ dx$
Se noti il numeratore è QUASI la derivata del denominatore ...
$d(t)=t^2+2t+4\ =>\ d'(t)=2t+2$
Allora puoi fare così ...
$int (2t+4)/(t^2+2t+4)\ dx\ =>\ int (2t+2+2)/(t^2+2t+4)\ dx\ =>\ int (2t+2)/(t^2+2t+4)\ dx+int 2/(t^2+2t+4)\ dx$
Il secondo integrale lo risolvi come quello di prima (ok?) mentre il primo è nella forma $int (f'(x))/(f(x))\ dx$ che si risolve immediatamente ... (eventualmente poni $u=t^2+2t+4$ e sostituisci ...).
Cordialmente, Alex
$d(t)=t^2+2t+4\ =>\ d'(t)=2t+2$
Allora puoi fare così ...
$int (2t+4)/(t^2+2t+4)\ dx\ =>\ int (2t+2+2)/(t^2+2t+4)\ dx\ =>\ int (2t+2)/(t^2+2t+4)\ dx+int 2/(t^2+2t+4)\ dx$
Il secondo integrale lo risolvi come quello di prima (ok?) mentre il primo è nella forma $int (f'(x))/(f(x))\ dx$ che si risolve immediatamente ... (eventualmente poni $u=t^2+2t+4$ e sostituisci ...).
Cordialmente, Alex
Grazie mille Alex, e scusami ancora per l'incomprensione :/
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