Integrale indefinito di funzione non continua
Salve,
la funzione che si cerca di integrare è la seguente: $1/(4(cosx)^2-1)$.
Essa non è definita per x = $\pi/3$ +2k$\pi$ e per x = $\2pi/3$ +2k$\pi$ con k appartenente a Z.
Risolvendo con $(cosx)^2$ = $1/(1+(tgx)^2)$ e successivamente con $tgx = t$ e $dx = dt/(1+t^2)$ mi ritrovo con l'insieme delle primitive : $1/(2sqrt(3))*$log|3-$(tgx)^2$|+c.
Orbene, questa non sembra apparentemente essere una primitiva della mia $f(x)$ perché derivandola mi ritrovo un fattore moltiplicativo in più: $(-tgx)/sqrt(3)$.
Correttamente una primitiva è invece $1/(2sqrt(3))$*$log|(sqrt(3)+tgx)/(sqrt(3)-tgx)|$+c [cfr. Esposito-Fiorenza, volume C].
La mia difficoltà (da autodidatta) è il non riuscire a far venir fuori la corretta primitiva anche se ho capito che l'inghippo è nei punti di discontinuità ed eventuali restrizioni della funzione.
Grazie.
ardimentoso66
la funzione che si cerca di integrare è la seguente: $1/(4(cosx)^2-1)$.
Essa non è definita per x = $\pi/3$ +2k$\pi$ e per x = $\2pi/3$ +2k$\pi$ con k appartenente a Z.
Risolvendo con $(cosx)^2$ = $1/(1+(tgx)^2)$ e successivamente con $tgx = t$ e $dx = dt/(1+t^2)$ mi ritrovo con l'insieme delle primitive : $1/(2sqrt(3))*$log|3-$(tgx)^2$|+c.
Orbene, questa non sembra apparentemente essere una primitiva della mia $f(x)$ perché derivandola mi ritrovo un fattore moltiplicativo in più: $(-tgx)/sqrt(3)$.
Correttamente una primitiva è invece $1/(2sqrt(3))$*$log|(sqrt(3)+tgx)/(sqrt(3)-tgx)|$+c [cfr. Esposito-Fiorenza, volume C].
La mia difficoltà (da autodidatta) è il non riuscire a far venir fuori la corretta primitiva anche se ho capito che l'inghippo è nei punti di discontinuità ed eventuali restrizioni della funzione.
Grazie.
ardimentoso66
Risposte
Devi utilizzare i codici per esprimere le formule altrimenti non si capisce niente così...
Ho riscritto le relazioni utilizzando i codici. Ora sembra essere più chiaro.
Grazie
Grazie
Non c'entrano nulla i punti di discontinuità.
Hai quasi fatto tutto giusto: posto $t=tg(x)$ si arriva ad avere $int dt/(3-t^2)$
A questo punto bisogna ridurrein fratti semplici: $1/(3-t^2)= 1/(2sqrt3)* (1/(t+sqrt3)-1/(t-sqrt3))$
Hai quasi fatto tutto giusto: posto $t=tg(x)$ si arriva ad avere $int dt/(3-t^2)$
A questo punto bisogna ridurrein fratti semplici: $1/(3-t^2)= 1/(2sqrt3)* (1/(t+sqrt3)-1/(t-sqrt3))$
Ti ringrazio Gi8,
volevo però osservare che andando a ridurre in fratti semplici io mi trovo
$1/(3-t^2)$ = $1/(2sqrt(3))$*$(1/(sqrt(3)-t)+1/(sqrt(3)+t))$
e quindi alla fine mi ritrovo con la somma di due logaritmi e non con la differenza.
Ma è davvero strano perché ne avrò fatti almeno altri 10 di esercizi come questi e mi sono sempre trovato puntualmente. Ci sarà qualcosa che mi sfugge....
Grazie comunque.
ardimentoso66
volevo però osservare che andando a ridurre in fratti semplici io mi trovo
$1/(3-t^2)$ = $1/(2sqrt(3))$*$(1/(sqrt(3)-t)+1/(sqrt(3)+t))$
e quindi alla fine mi ritrovo con la somma di due logaritmi e non con la differenza.
Ma è davvero strano perché ne avrò fatti almeno altri 10 di esercizi come questi e mi sono sempre trovato puntualmente. Ci sarà qualcosa che mi sfugge....
Grazie comunque.
ardimentoso66
Entrambi abbiamo fatto giusto.
Le nostre soluzioni coincidono perchè $-1/(t-sqrt3)=1/(sqrt3-t)$
Le nostre soluzioni coincidono perchè $-1/(t-sqrt3)=1/(sqrt3-t)$
Ah ecco, mi sfuggiva il fatto di poter "mettere in evidenza" un segno meno nella prima frazione. Così, nella soluzione proposta dal testo nel logaritmo posso scindere il modulo del rapporto nel rapporto dei moduli e concludere che al denominatore $|sqrt(3)-t|$ = $|t-sqrt(3)|$. Spero di aver dedotto bene. Me lo confermi?
Grazie ancora
ardimentoso66
Grazie ancora
ardimentoso66
Confermo
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