Integrale indefinito con sin e sin(2x)
Ciao ragazzi, ho provato a risolvere questo integrale utilizzando il metodo per parti, secondo voi è corretto? 
$ int [1+(sinx)^2]^3sin(2x) dx $ pongo $ f(x)=[1+(sinx)^2]^3 $ e $ g'(x)=sin(2x) $
Svolgo l'integrale:
$ int [1+(sinx)^2]^3sin(2x) dx =[1+(sinx)^2]^3(-cos(2x)/2)-int[1+(sinx)^2]^2*2sinxcosx(-cos(2x)/2)dx $
Grazie per l'attenzione
$ int [1+(sinx)^2]^3sin(2x) dx $ pongo $ f(x)=[1+(sinx)^2]^3 $ e $ g'(x)=sin(2x) $
Svolgo l'integrale:
$ int [1+(sinx)^2]^3sin(2x) dx =[1+(sinx)^2]^3(-cos(2x)/2)-int[1+(sinx)^2]^2*2sinxcosx(-cos(2x)/2)dx $
Grazie per l'attenzione
Risposte
Ciao.
Adoperi la sostituzione $1+sin(x)^2=v$, pertanto $2sin(x)cos(x) \, dx=sin(2x) \, dx=dv$; e l'integrale diventa:
$$\int v^3 \, dv$$
Adoperi la sostituzione $1+sin(x)^2=v$, pertanto $2sin(x)cos(x) \, dx=sin(2x) \, dx=dv$; e l'integrale diventa:
$$\int v^3 \, dv$$
"Raam":
Ciao.
Adoperi la sostituzione $1+sin(x)^2=v$, pertanto $2sin(x)cos(x) \, dx=sin(2x) \, dx=dv$; e l'integrale diventa:
$$\int v^3 \, dv$$
ma a seguire della mia risoluzione?
Non penso che l'esercizio richieda espressamente di farlo per parti. Non ho visto attentamente i tuoi passaggi, ma a giudicare dall'integrale che ti è uscito fuori direi a occhio che è una strada senza uscita.
"Raam":
Non penso che l'esercizio richieda espressamente di farlo per parti. Non ho visto attentamente i tuoi passaggi, ma a giudicare dall'integrale che ti è uscito fuori direi a occhio che è una strada senza uscita.
Si si, hai ragione!
Ora ho risolto, grazie mille
@sossella: Gli integrali relativi alla trigonometria richiedono nel 90% dei casi l'utilizzo di specifiche formule trigonometriche per venirne fuori. Se ti è possibile portare qualcosa all'esame, segnatele da qualche parte. Le principali fa bene ricordarsele. http://it.wikipedia.org/wiki/Identit%C3 ... onometrica
Quella inerente a questo è \(\displaystyle \cos 2x = 1 + 2\sin^2 x \). Nel tuo caso hai solo \(\displaystyle +\sin^2 x \) perciò diventa \(\displaystyle \frac12 + \frac12 + \sin^2 x = \frac12 + \frac{\cos 2x}{2} \).
Posto \(\displaystyle f(x) = \frac12 + \frac{\cos 2x}{2}\) hai che \(\displaystyle \frac{d}{dx}f(x) = -\sin 2x \). Ovvero ti trovi nel caso \[-\int f(x)^3f'(x)\,dx \] che coincide con quello che ha scritto Raam (a meno di un segno).
Oppure potevi direttamente derivare come ha fatto Raam, ma similmente a lui dovevi poi usare l'identità relativa alla duplicazione del seno.
[EDIT] Se conoscevi la formula della riduzione della potenza, ovvero \(\displaystyle \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \), potevi usare quella.
Quella inerente a questo è \(\displaystyle \cos 2x = 1 + 2\sin^2 x \). Nel tuo caso hai solo \(\displaystyle +\sin^2 x \) perciò diventa \(\displaystyle \frac12 + \frac12 + \sin^2 x = \frac12 + \frac{\cos 2x}{2} \).
Posto \(\displaystyle f(x) = \frac12 + \frac{\cos 2x}{2}\) hai che \(\displaystyle \frac{d}{dx}f(x) = -\sin 2x \). Ovvero ti trovi nel caso \[-\int f(x)^3f'(x)\,dx \] che coincide con quello che ha scritto Raam (a meno di un segno).
Oppure potevi direttamente derivare come ha fatto Raam, ma similmente a lui dovevi poi usare l'identità relativa alla duplicazione del seno.
[EDIT] Se conoscevi la formula della riduzione della potenza, ovvero \(\displaystyle \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \), potevi usare quella.
Vi ringrazio, mi avete aiutato a capire come procedere
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