Integrale indefinito con arctan^2
Salve,
ho incontrato qualche problema nella risoluzione di questo integrale indefinito
$ int xarctan ^2(x) dx $
La mia professoressa di Analisi ha suggerito di risolverlo usando l'integrazione per parti. Io ho considerato $ x $ come $ f'(x) $ (la derivata prima va bene scritta così) e $ arctan^2(x) $ come $ g(x) $ , perché questo era il procedimento che seguivo quando dovevo integrare il prodotto tra un polinomio in x e una funzione arcotangente. Il fatto che però arcotangente fosse elevato alla seconda mi ha creato problemi, perché l'integrale della seconda parte della formula conteneva di nuovo la funzione arcotangente, questa volta al primo grado: giunto a questo punto, tutte le strade che ho provato non hanno portato che a complicare i calcoli.
Ho anche ipotizzato di prendere $ x $ come $ f(x) $ e $ arctan^2(x) $ come $ g'(x) $ ma non sono riuscito a calcolare brevemente nemmeno l'integrale del solo arcotangente al quadrato.
Qual è il metodo giusto per risolvere l'esercizio?
ho incontrato qualche problema nella risoluzione di questo integrale indefinito
$ int xarctan ^2(x) dx $
La mia professoressa di Analisi ha suggerito di risolverlo usando l'integrazione per parti. Io ho considerato $ x $ come $ f'(x) $ (la derivata prima va bene scritta così) e $ arctan^2(x) $ come $ g(x) $ , perché questo era il procedimento che seguivo quando dovevo integrare il prodotto tra un polinomio in x e una funzione arcotangente. Il fatto che però arcotangente fosse elevato alla seconda mi ha creato problemi, perché l'integrale della seconda parte della formula conteneva di nuovo la funzione arcotangente, questa volta al primo grado: giunto a questo punto, tutte le strade che ho provato non hanno portato che a complicare i calcoli.
Ho anche ipotizzato di prendere $ x $ come $ f(x) $ e $ arctan^2(x) $ come $ g'(x) $ ma non sono riuscito a calcolare brevemente nemmeno l'integrale del solo arcotangente al quadrato.
Qual è il metodo giusto per risolvere l'esercizio?
Risposte
molto semplicemente per parti, come ti ha suggerito la prof e come giustamente avevi iniziato a fare: $x$ è la parte differenziale e $arctan^2x$ la parte finita
$intxarctan^2xdx=x^2/2arctan^2x-intx^2/2(2arctanx)/(1+x^2)dx$
sommo e sottraggo 1 nell'integrale al secondo membro:
$intxarctan^2xdx=x^2/2arctan^2x-int(x^2+1-1)/(x^2+1)arctanxdx$
$intxarctan^2xdx=x^2/2arctan^2x-intarctanxdx+intarctanx\cdot1/(1+x^2)dx$
$intxarctan^2xdx=x^2/2arctan^2x-intarctanxdx+inttdt$
ora dovresti saper continuare, dato che l'integrale di $arctanxdx$ lo fai facile per parti mentre l'ultimo integrale è immediato avendo posto $arctanx=t$ (è del tipo $intf(x)f'(x)dx$)
$intxarctan^2xdx=x^2/2arctan^2x-intx^2/2(2arctanx)/(1+x^2)dx$
sommo e sottraggo 1 nell'integrale al secondo membro:
$intxarctan^2xdx=x^2/2arctan^2x-int(x^2+1-1)/(x^2+1)arctanxdx$
$intxarctan^2xdx=x^2/2arctan^2x-intarctanxdx+intarctanx\cdot1/(1+x^2)dx$
$intxarctan^2xdx=x^2/2arctan^2x-intarctanxdx+inttdt$
ora dovresti saper continuare, dato che l'integrale di $arctanxdx$ lo fai facile per parti mentre l'ultimo integrale è immediato avendo posto $arctanx=t$ (è del tipo $intf(x)f'(x)dx$)
"eeuuggg":
l fatto che però arcotangente fosse elevato alla seconda mi ha creato problemi, perché l'integrale della seconda parte della formula conteneva di nuovo la funzione arcotangente, questa volta al primo grado:
ma contiene anche $1/(x^2+1)$. Questo fa la differenza, dato che è proprio la derivata dell'arcotangente
Tutto chiaro!
Grazie mille tommik!
Grazie mille tommik!
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