Integrale indefinito brutto brutto bruutto!
Salve a tutti, mi ci sono scimunito ma non riesco a capire come calcolare il seguente integrale
[tex]$\int \frac{1}{(x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}dx[/tex]
Ho il risultato (grazie a derive) ma vorrei capire come ci si arriva. Grazie mille
[tex]$\int \frac{1}{(x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}dx[/tex]
Ho il risultato (grazie a derive) ma vorrei capire come ci si arriva. Grazie mille
Risposte
Prova a porre [tex]x=a\sinh t[/tex] (immagino venga da un esercizio di Fisica, in particolare elettromagnetismo...) 
Allora ho provato a farlo come mi hai detto tu ma non si trova il risultato, cerco di riassumere quello che ho fatto
Ho riscritto l'integrale
[tex]$\int\frac{1}{\left(a^{2}sinh^{2}t+a^{2}\right)^{3/2}}a\cdot sinh(t)\, dt[/tex]
Fatto ciò ho un pò semplificato le cose
[tex]$\int\frac{1}{a^{3}\left(sinh^{2}t+1\right)^{3/2}}a\cdot sinh(t)\, dt & =a^{-2}\int\frac{sinh(t)}{cosh^{3}(t)}dt[/tex]
[tex]$=\frac{4}{a^{2}}\int\frac{e^{t}-e^{-t}}{(e^{t}+e^{-t})^{3}}dt=-\frac{4}{a^{2}}\frac{1}{2\left(e^{t}+e^{-t}\right)^{2}}[/tex]
Adesso torno in [tex]x[/tex] tramite la sostituzione
[tex]$t=settsinh(x)=ln\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+1}\right)[/tex]
e quindi
[tex]$-\frac{4}{a^{2}}\frac{1}{2\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}}=-\frac{2}{a^{2}}\frac{e^{t}}{\left(e^{2t}+1\right)^{2}}=\frac{2}{a^{2}}\frac{\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}}{\left[\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)^{2}+1\right]^{2}}[/tex]
Adesso i conti si fanno un pò antipatici, quindi prima di mettermi ad impazzire ulteriormente volevo sapere se fin adesso il tutto era corretto, non essendo molto allenato sulle funzioni iperboliche
p.s. si, proprio un esercizio di elettromagnetismo](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ho riscritto l'integrale
[tex]$\int\frac{1}{\left(a^{2}sinh^{2}t+a^{2}\right)^{3/2}}a\cdot sinh(t)\, dt[/tex]
Fatto ciò ho un pò semplificato le cose
[tex]$\int\frac{1}{a^{3}\left(sinh^{2}t+1\right)^{3/2}}a\cdot sinh(t)\, dt & =a^{-2}\int\frac{sinh(t)}{cosh^{3}(t)}dt[/tex]
[tex]$=\frac{4}{a^{2}}\int\frac{e^{t}-e^{-t}}{(e^{t}+e^{-t})^{3}}dt=-\frac{4}{a^{2}}\frac{1}{2\left(e^{t}+e^{-t}\right)^{2}}[/tex]
Adesso torno in [tex]x[/tex] tramite la sostituzione
[tex]$t=settsinh(x)=ln\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+1}\right)[/tex]
e quindi
[tex]$-\frac{4}{a^{2}}\frac{1}{2\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}}=-\frac{2}{a^{2}}\frac{e^{t}}{\left(e^{2t}+1\right)^{2}}=\frac{2}{a^{2}}\frac{\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}}{\left[\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)^{2}+1\right]^{2}}[/tex]
Adesso i conti si fanno un pò antipatici, quindi prima di mettermi ad impazzire ulteriormente volevo sapere se fin adesso il tutto era corretto, non essendo molto allenato sulle funzioni iperboliche
p.s. si, proprio un esercizio di elettromagnetismo
Hai sbagliato il differenziale! $dx = a cosh(t) dt$.
o.O sono un.... è vietato imprecare nel forum vero? :\ Torno subito al lavoro
Seconda tappa della via crucis 
Fin adesso sono arrivato qua
[tex]$\int\frac{a\cdot cosh(t)}{a^{3}cosh^{3}(t)}dt=\frac{1}{a^{2}}\int\frac{1}{cosh^{2}(t)}dt=\frac{4}{a^{2}}\int\frac{1}{e^{t}+e^{-t}}=\frac{4}{a^{2}}atan\left(e^{t}\right)=\frac{4}{a^{2}}atan\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)[/tex]
adesso però come mi "levo dalle scatole" quell'arcotangente (che nel risultato finale non c'è)?
Fin adesso sono arrivato qua
[tex]$\int\frac{a\cdot cosh(t)}{a^{3}cosh^{3}(t)}dt=\frac{1}{a^{2}}\int\frac{1}{cosh^{2}(t)}dt=\frac{4}{a^{2}}\int\frac{1}{e^{t}+e^{-t}}=\frac{4}{a^{2}}atan\left(e^{t}\right)=\frac{4}{a^{2}}atan\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)[/tex]
adesso però come mi "levo dalle scatole" quell'arcotangente (che nel risultato finale non c'è)?
"enpires":
Fin adesso sono arrivato qua
[tex]$\frac{1}{a^{2}}\int\frac{1}{cosh^{2}(t)}dt=\frac{4}{a^{2}}\int\frac{1}{e^{t}+e^{-t}}[/tex]
Quest'uguaglianza non è vera! $cosh^2(t) = ((e^t + e^(-t))/2)^2 = (e^(2t)+e^(-2t)+2)/4$.
ok sto azzeccando figure di melma su figure di melma, mi sono scordato di ricopiare il quadrato andando avanti con i passaggi (infatti se vedi compare un 4 che usiva proprio dal fare il quadrato di ciò che ho scritto)... adesso mi faccio un sano panino e poi riprovo quando il livello di zuccheri del cervello si ristabilisce
grazie intanto per l'aiuto!
grazie intanto per l'aiuto!
E poi terrei anche presente che [tex]$\int \frac{1}{\cosh^2 t} \ \text{d} t =\tanh t$[/tex], proprio come per le funzioni circolari...
Ok quindi se sono sulla strada giusta l'integrale dovrebbe risultare
[tex]$\frac{4}{a^{2}}\int\frac{1}{\left(e^{t}+e^{-t}\right)^{2}}dt=\frac{4}{a^{2}}\left(-\frac{1}{2e^{t}+2}\right)[/tex]
cui devo sostituire
[tex]$t=ln\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)[/tex]
esatto?
(chiedo prima di fare altre figure)
EDIT: per la questione di [tex]tanh(t)[/tex] in che modo mi può aiutare? io sinceramente non saprei come integrarla se non riconducendomi agli esponenziali
[tex]$\frac{4}{a^{2}}\int\frac{1}{\left(e^{t}+e^{-t}\right)^{2}}dt=\frac{4}{a^{2}}\left(-\frac{1}{2e^{t}+2}\right)[/tex]
cui devo sostituire
[tex]$t=ln\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)[/tex]
esatto?
(chiedo prima di fare altre figure
)EDIT: per la questione di [tex]tanh(t)[/tex] in che modo mi può aiutare? io sinceramente non saprei come integrarla se non riconducendomi agli esponenziali
"enpires":
[tex]$\frac{4}{a^{2}}\int\frac{1}{\left(e^{t}+e^{-t}\right)^{2}}dt=\frac{4}{a^{2}}\left(-\frac{1}{2e^{t}+2}\right)[/tex]
Qui c'è [tex]$\frac{4}{a^{2}}\left(-\frac{1}{2e^{2t}+2}\right)[/tex].
sisisi errore nello scrivere la formula tex, sul foglio è scritto tutto bene 
ok procedo alla sostituzione ragazzi grazie tanto dell'aiuto che mi state dando
ok procedo alla sostituzione ragazzi grazie tanto dell'aiuto che mi state dando
"enpires":
EDIT: per la questione di [tex]$\tanh t$[/tex] in che modo mi può aiutare? io sinceramente non saprei come integrarla se non riconducendomi agli esponenziali
Perchè hai bisogno d'integrare di nuovo un integrale indefinito?
Stai calcolando un integrale multiplo?
Adesso si tratta solo di fare un po' di conticini e semplificazioni varie...
Bene adesso vediamo qual'è il prossimo errore che commetto sostituisco alla formula precedente
[tex]$t=ln\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)[/tex]
ed ottengo
[tex]$\frac{4}{a^{2}}\frac{1}{\left[\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)^{2}+1\right]}=\frac{4}{a^{2}}\frac{1}{\left[a^{-2}\left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)^{2}+1\right]}=\frac{4}{\left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)^{2}+a^{2}}=\frac{4}{x^{2}+(x^{2}+a^{2})+2x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2}}=\frac{2}{x^{2}+x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2}}[/tex]
Dove ho sbagliato stavola? (xke i conti non sono ASSOLUTAMENTE il mio forte)
edit: per gugo
ti chiedo scusa, sarò rimbambito oggi ma avevo letto $\int \frac{1}{\cosh^2 t} \ \text{d} t =\int\tanh t$, errore mio.
edit2: trovato già un errore -.- aspettate che correggo
sostituisco alla formula precedente [tex]$t=ln\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)[/tex]
ed ottengo
[tex]$\frac{4}{a^{2}}\frac{1}{\left[\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)^{2}+1\right]}=\frac{4}{a^{2}}\frac{1}{\left[a^{-2}\left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)^{2}+1\right]}=\frac{4}{\left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)^{2}+a^{2}}=\frac{4}{x^{2}+(x^{2}+a^{2})+2x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2}}=\frac{2}{x^{2}+x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2}}[/tex]
Dove ho sbagliato stavola? (xke i conti non sono ASSOLUTAMENTE il mio forte)
edit: per gugo
ti chiedo scusa, sarò rimbambito oggi ma avevo letto $\int \frac{1}{\cosh^2 t} \ \text{d} t =\int\tanh t$, errore mio.
edit2: trovato già un errore -.- aspettate che correggo
C'è un $-1/2$ davanti a tutto... Il resto dei conti li controllo dopo, intanto ti dico questo.
si fireball l'avevo visto... devo fare qualcosa per la mia distrazione... in ogni caso sto correggendo
Fortunatamente non sembra avermi causato troppi problemi quel fattore mancante
[tex]$\frac{4}{a^{2}}\frac{1}{\left[2\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)^{2}+2\right]}=\frac{2}{a^{2}}\frac{1}{\left[a^{-2}\left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)^{2}+1\right]}=\frac{2}{\left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)^{2}+a^{2}}=\frac{2}{x^{2}+(x^{2}+a^{2})+2x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2}}=\frac{1}{x^{2}+x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2}}[/tex]
Sembra andare bene... che ne dite?
p.s. se qualcuno conosce un sistema efficace per imparare e non fare sti errori stupidi di distrazione che mi caratterizzano sarei grato se mi rendesse partecipe
[tex]$\frac{4}{a^{2}}\frac{1}{\left[2\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)^{2}+2\right]}=\frac{2}{a^{2}}\frac{1}{\left[a^{-2}\left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)^{2}+1\right]}=\frac{2}{\left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)^{2}+a^{2}}=\frac{2}{x^{2}+(x^{2}+a^{2})+2x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2}}=\frac{1}{x^{2}+x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2}}[/tex]
Sembra andare bene... che ne dite?
p.s. se qualcuno conosce un sistema efficace per imparare e non fare sti errori stupidi di distrazione che mi caratterizzano sarei grato se mi rendesse partecipe
Sì, viene, a parte il meno che ti eri scordato prima che va davanti a tutto.
evvai grazie mille ragazzi!! e scusate i "lievi" errori
grazie mille ragazzi!! e scusate i "lievi" errori
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