Integrale (in)definito
Buongiorno, vorrei proporvi questo esercizio per confrontare le mie idee con le vostre: si tratta di uno studio di una funzione integrale fratta di cui bisogna ricavarne, tramite integrazione indefinita, il termine al numeratore. La traccia è la seguente:
Data la funzione $\varphi(t)=e^t(t^2-1)$ calcolare $int\varphi(t)dt$. Detta $\psi$ una primitiva di $\varphi$, studiare la funzione $F(x)=int_0^x^2\(psi(t))/(t-4)dt$
Nella stesura della primitiva $psi$ procedo con integrazione per parti (e fin qui tutto ok) calcolandomi $\psi=e^t(t-1)^2$ da cui $F(x)=int_0^x^2(e^t(t-1)^2)/(t-4)dt$
Una volta arrivato qui pongo $y=x^2$ quindi $G(y)=int_0^y(e^t(t-1)^2)/(t-4)dt$ da cui $F(x)=G(x^2)$ e quindi $G'(y)=(e^y(y-1)^2)/(y-4)$ e infine $F'(x)=G'(x^2)\cdot2x=(e^(x^2)(x^2-1)^2)/(x^2-4)\cdot2x$
Da qui come potrei continuare? (ammesso che sia giusto quanto fatto fin ora)
Data la funzione $\varphi(t)=e^t(t^2-1)$ calcolare $int\varphi(t)dt$. Detta $\psi$ una primitiva di $\varphi$, studiare la funzione $F(x)=int_0^x^2\(psi(t))/(t-4)dt$
Nella stesura della primitiva $psi$ procedo con integrazione per parti (e fin qui tutto ok) calcolandomi $\psi=e^t(t-1)^2$ da cui $F(x)=int_0^x^2(e^t(t-1)^2)/(t-4)dt$
Una volta arrivato qui pongo $y=x^2$ quindi $G(y)=int_0^y(e^t(t-1)^2)/(t-4)dt$ da cui $F(x)=G(x^2)$ e quindi $G'(y)=(e^y(y-1)^2)/(y-4)$ e infine $F'(x)=G'(x^2)\cdot2x=(e^(x^2)(x^2-1)^2)/(x^2-4)\cdot2x$
Da qui come potrei continuare? (ammesso che sia giusto quanto fatto fin ora)
Risposte
direi UP, grazie
Devi studiare la funzione \(F\), quindi: dominio, segno, limiti, monotonia, concavità.
Dove stanno tutti questi passaggi?
Dove stanno tutti questi passaggi?
diciamo che ho postato questa domanda proprio per imparare come orientarmi nello studio della funzione integrale.. e vorrei capire cosa e come fare una volta arrivato a questo punto
Arrivato a quale punto?
Hai calcolato una derivata "a caso" e basta... Ma, scusa, per te tutte le informazioni relative al comportamento di una funzione vengono dalla derivata prima?
Per me no; quindi ti chiedo, dov'è il resto?
Per quel che concerne uno schema generale circa lo studio della funzione integrale, ti rimando al thread omonimo di Camillo (che è evidenziato nella pagina iniziale della stanza di Analisi).
Quando ci farai capire per bene dove ti blocchi, saremo ben lieti di aiutarti.
Hai calcolato una derivata "a caso" e basta... Ma, scusa, per te tutte le informazioni relative al comportamento di una funzione vengono dalla derivata prima?
Per me no; quindi ti chiedo, dov'è il resto?
Per quel che concerne uno schema generale circa lo studio della funzione integrale, ti rimando al thread omonimo di Camillo (che è evidenziato nella pagina iniziale della stanza di Analisi).
Quando ci farai capire per bene dove ti blocchi, saremo ben lieti di aiutarti.
vorrei capire come studiare il dominio di questa funzione, con la determinazione delle sue intersezioni e la sua crescenza/decrescenza.. sono le prime volte che mi imbatto nello studio di funzioni integrali, perciò vorrei apprendere quanto più possibile
Leggi il thread che ti ho segnalato e comincia a fare due conti.
io so che, dal dominio della funzione integranda (ovvero $\mathbb{R}-{4}$), dovrei ricavarmi il dominio della primitiva imponendo che $x^2<4\rightarrow -2
Hai:
\[
F(x):=\int_0^{x^2}\frac{e^t(t-1)^2}{t-4}\ \text{d} t\; ,
\]
che è composta dalle applicazioni:
\[
G(y):=\int_0^y\frac{e^t(t-1)^2}{t-4}\ \text{d} t \qquad \text{e}\qquad h(x):=x^2\; ,
\]
giacché risulta \(F(x)=G(h(x))\).
L'insieme di definizione di \(G\) coincide col più grande intervallo \(I\) contenente il punto \(0\) tale che l'integrando è sommabile in ogni sottointervallo compatto di \(I\) avente un estremo in \(0\).
Dato che l'integrando è sommabile in ogni sottointervallo compatto di \(]-\infty ,4[\cup ]4,\infty[\), è evidente che \(I=]-\infty ,4[ =:\operatorname{Dom} G\).
Ne viene che la funzione composta \(G(h(x))\) è definita solo per gli \(x\in \mathbb{R}\) tali che \(h(x)=x^2\in \operatorname{Dom} G\), i.e. per gli \(x\) tali che \(x^2<4\).
Ne consegue che \(\operatorname{Dom} F= ]-2,2[\).
Si ha evidentemente \(F(0)=0\) e la funzione \(F\) è pari; d'altra parte l'integrando è negativo ed \(h(x)\geq 0\), quindi si ha ceramente \(F(x)\leq 0\) per \(x\in \text{Dom} F\).
Per \(x\to \pm 2^{\mp}\) l'integrale è necessariamente divergente e, visto lo studio del segno fatto in precedenza, si ha \(\lim_{x\to \pm 2^\mp} F(x)=-\infty\).
Quindi le rette d'equazione \(x=\pm 2\) sono asintoti del diagramma del grafico di \(F\), la prima a sinistra in basso, la seconda a destra in basso.
Evidentemente \(F\) è derivabile in \(\operatorname{Dom} F\) (per essere composta da funzioni derivabili) e si ha:
\[
F^\prime (x) = 2x\ \frac{e^{x^2} (x^2-1)^2}{x^2-4}
\]
quindi \(F\) è strettamente crescente per \(x\leq 0\) e strettamente decrescente per \(x\geq 0\).
La derivata seconda è:
\[
F^{\prime \prime} (x)=4\ x\ e^{x^2}\ \frac{2x^{10}-13x^8-9x^6+139x^4-47x^2-36}{(x^2-4)^3}
\]
ed essa ha almeno una radice positiva in \(]0,2[\), quindi la tua \(F\) ha almeno un flesso in \(]0,2[\) ed un altro in \(]-2,0[\).
\[
F(x):=\int_0^{x^2}\frac{e^t(t-1)^2}{t-4}\ \text{d} t\; ,
\]
che è composta dalle applicazioni:
\[
G(y):=\int_0^y\frac{e^t(t-1)^2}{t-4}\ \text{d} t \qquad \text{e}\qquad h(x):=x^2\; ,
\]
giacché risulta \(F(x)=G(h(x))\).
L'insieme di definizione di \(G\) coincide col più grande intervallo \(I\) contenente il punto \(0\) tale che l'integrando è sommabile in ogni sottointervallo compatto di \(I\) avente un estremo in \(0\).
Dato che l'integrando è sommabile in ogni sottointervallo compatto di \(]-\infty ,4[\cup ]4,\infty[\), è evidente che \(I=]-\infty ,4[ =:\operatorname{Dom} G\).
Ne viene che la funzione composta \(G(h(x))\) è definita solo per gli \(x\in \mathbb{R}\) tali che \(h(x)=x^2\in \operatorname{Dom} G\), i.e. per gli \(x\) tali che \(x^2<4\).
Ne consegue che \(\operatorname{Dom} F= ]-2,2[\).
Si ha evidentemente \(F(0)=0\) e la funzione \(F\) è pari; d'altra parte l'integrando è negativo ed \(h(x)\geq 0\), quindi si ha ceramente \(F(x)\leq 0\) per \(x\in \text{Dom} F\).
Per \(x\to \pm 2^{\mp}\) l'integrale è necessariamente divergente e, visto lo studio del segno fatto in precedenza, si ha \(\lim_{x\to \pm 2^\mp} F(x)=-\infty\).
Quindi le rette d'equazione \(x=\pm 2\) sono asintoti del diagramma del grafico di \(F\), la prima a sinistra in basso, la seconda a destra in basso.
Evidentemente \(F\) è derivabile in \(\operatorname{Dom} F\) (per essere composta da funzioni derivabili) e si ha:
\[
F^\prime (x) = 2x\ \frac{e^{x^2} (x^2-1)^2}{x^2-4}
\]
quindi \(F\) è strettamente crescente per \(x\leq 0\) e strettamente decrescente per \(x\geq 0\).
La derivata seconda è:
\[
F^{\prime \prime} (x)=4\ x\ e^{x^2}\ \frac{2x^{10}-13x^8-9x^6+139x^4-47x^2-36}{(x^2-4)^3}
\]
ed essa ha almeno una radice positiva in \(]0,2[\), quindi la tua \(F\) ha almeno un flesso in \(]0,2[\) ed un altro in \(]-2,0[\).
finalmente.. perfetto, grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo