Integrale indefinito
$\int \frac{\text{d}x}{\sqrt{e^{2x}- 4}} = \frac{1}{2} \int \frac{\text{d}u}{\sqrt{e^u - 4}}$ Se $u = 2x$
Ma ora a occhio a quale forma standar devo arrivare?
Ma ora a occhio a quale forma standar devo arrivare?
Risposte
io proverei ad eliminare la radice con una sostituzione tipo $e^(2x) -4 =u^2$
come ti verrebbe?
$e^(2x) -4 =u^2 , e^(2x)=4 +u^2, x=ln(4+u^2) /2,dx=1/2 2u/(4+u^2) du$
cioè$int 1/u (1/2 (2u)/(4+u^2 ))du$ .. dopo che hai fatto tutte le semplicifazioni del caso, vedi che la primitica è una arcotangente
cioè$int 1/u (1/2 (2u)/(4+u^2 ))du$ .. dopo che hai fatto tutte le semplicifazioni del caso, vedi che la primitica è una arcotangente
Se $u^2 = e^{2x} - 4$ il $du$ ?
Comunque mi sembra una sostituzione con classe!
Comunque mi sembra una sostituzione con classe!
eheh!
ho capito cosa dici.. be' in questo caso abbiamo fatto una sostituzione del genere:
$int f(x)dx= int f(g(u)) g'(u) du$ cioè..
$f(x)=1/((e^(2x)-4)^(1/2))$
Abbiamo detto che la sostituzione che vogliamo fare è $e^(2x)-4=u^2$ ,
poi hai ricavato $x=ln(4+u^2)/2=g(u)$ che è una funzione di $u$,
per trovare il corrispondente del dx nella nuova funzione g(u), hai derivato g(u) rispetto ad u ..cioé $dx=g'(u)du$,
Per tornare ad usare la variabile x, fai la sostituzione $u=g^(-1)(x)$
..ok? ho cercato si spiegrmi meglio che potevo spero sia stato utile
ho capito cosa dici.. be' in questo caso abbiamo fatto una sostituzione del genere:
$int f(x)dx= int f(g(u)) g'(u) du$ cioè..
$f(x)=1/((e^(2x)-4)^(1/2))$
Abbiamo detto che la sostituzione che vogliamo fare è $e^(2x)-4=u^2$ ,
poi hai ricavato $x=ln(4+u^2)/2=g(u)$ che è una funzione di $u$,
per trovare il corrispondente del dx nella nuova funzione g(u), hai derivato g(u) rispetto ad u ..cioé $dx=g'(u)du$,
Per tornare ad usare la variabile x, fai la sostituzione $u=g^(-1)(x)$
..ok? ho cercato si spiegrmi meglio che potevo
spero sia stato utile
Allora ho letto ciò che mi hai scritto. Credo di aver capito bene tutte le varie cose...Dimmi se ho capito bene dai passaggi che scrivo:
Ad un certo punto ho $\int \frac{1}{4 + u^2}$ $=$ $\int \frac{1}{4(1 + \frac{u^2}{4})}$ $=$ $\frac{1}{4} \int \frac{1}{(1 + (\frac{u}{2})^2)} $ $=$ $\frac{1}{2} \int \frac{\frac{1}{2}}{(1 + (\frac{u}{2})^2)}$ $=$ $\frac{1}{2} \arctan \sqrt{e^{2x} -4} + c$
Che dite?
Ad un certo punto ho $\int \frac{1}{4 + u^2}$ $=$ $\int \frac{1}{4(1 + \frac{u^2}{4})}$ $=$ $\frac{1}{4} \int \frac{1}{(1 + (\frac{u}{2})^2)} $ $=$ $\frac{1}{2} \int \frac{\frac{1}{2}}{(1 + (\frac{u}{2})^2)}$ $=$ $\frac{1}{2} \arctan \sqrt{e^{2x} -4} + c$
Che dite?
Una cosa...ma per una sostituzione cosa è che devo pensare? Questa non era così tanto ovvia!
va quasi bene!manca solo una cosina..la primitiva dell'ultimo intgrale che hai scritto è $1/2 arctan (u/2)$ .. devi dividere per due l'argomento dell'arcotangente!
a me torna così
Ciao!
a me torna così
Ciao!
Devi cercare di eliminare le difficoltà: in questo caso il problema era la radice e abbiamo cercato una sostituzione che la eliminasse!
Altra idea.
Abbiamo:
\[
\begin{split}
\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-4}}\ \text{d} x &= \int \frac{1}{\sqrt{(e^x-2)(e^x+2)}}\ \text{d} x \\
&= \int \frac{1}{e^x+2}\ \sqrt{\frac{e^x+2}{e^x-2}}\ \text{d} x
\end{split}
\]
(perché \(e^x+2>0\)) quindi facciamo la sostituzione:
\[
t=\sqrt{\frac{e^x+2}{e^x-2}} \quad \Leftrightarrow \quad t^2=\frac{e^x+2}{e^x-2} \quad \Leftrightarrow \quad e^x=\frac{2 (t^2+1)}{t^2-1} \quad \Leftrightarrow \quad x=\ln \frac{2 (t^2+1)}{t^2-1}
\]
che muta l'integrale in:
\[
\int \frac{t^2-1}{4t^2}\ t\ \frac{-4t}{(t^2-1)(t^2+1)}\ \text{d} t = -\int \frac{1}{t^2+1}\ \text{d} t
\]
il quale è immediato:
\[
-\int \frac{1}{t^2+1}\ \text{d} t = -\arctan t +C\; ;
\]
sostituendo a ritroso:
\[
\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-4}}\ \text{d} x = -\arctan \sqrt{\frac{e^x+2}{e^x-2}} +C\; .
\]
Abbiamo:
\[
\begin{split}
\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-4}}\ \text{d} x &= \int \frac{1}{\sqrt{(e^x-2)(e^x+2)}}\ \text{d} x \\
&= \int \frac{1}{e^x+2}\ \sqrt{\frac{e^x+2}{e^x-2}}\ \text{d} x
\end{split}
\]
(perché \(e^x+2>0\)) quindi facciamo la sostituzione:
\[
t=\sqrt{\frac{e^x+2}{e^x-2}} \quad \Leftrightarrow \quad t^2=\frac{e^x+2}{e^x-2} \quad \Leftrightarrow \quad e^x=\frac{2 (t^2+1)}{t^2-1} \quad \Leftrightarrow \quad x=\ln \frac{2 (t^2+1)}{t^2-1}
\]
che muta l'integrale in:
\[
\int \frac{t^2-1}{4t^2}\ t\ \frac{-4t}{(t^2-1)(t^2+1)}\ \text{d} t = -\int \frac{1}{t^2+1}\ \text{d} t
\]
il quale è immediato:
\[
-\int \frac{1}{t^2+1}\ \text{d} t = -\arctan t +C\; ;
\]
sostituendo a ritroso:
\[
\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-4}}\ \text{d} x = -\arctan \sqrt{\frac{e^x+2}{e^x-2}} +C\; .
\]
.. ma quali sono le proprietà dell'arcotangente che fanno verificare l'uguaglianza delle due primitive ceh abbiamo trovato
$−arctan((e^x+2)/(e^x−2))^(1/2)=1/2 arctan ((e^(2x)-4)^(1/2) /2)$ ?
$−arctan((e^x+2)/(e^x−2))^(1/2)=1/2 arctan ((e^(2x)-4)^(1/2) /2)$ ?
Probabilmente:
\[
\arctan u = 2\ \arctan \frac{u}{1+\sqrt{1+u^2}}
\]
che viene fuori dalla formula di bisezione della tangente...
Infatti, posto \(u=\frac{1}{2}\ \sqrt{e^{2x} -4}\), si ha:
\[
\begin{split}
\frac{u}{1+\sqrt{1+u^2}} &= \frac{\frac{1}{2}\ \sqrt{e^{2x} -4}}{1+\sqrt{1+\frac{1}{4}\ (e^{2x} -4)}} \\
&= \frac{\frac{1}{2}\ \sqrt{e^x -2}\ \sqrt{e^x+2}}{1+\frac{1}{2}\ e^x} \\
&= \sqrt{\frac{e^x -2}{e^x +2}}\; ,
\end{split}
\]
e conseguentemente:
\[
\frac{1}{2}\ \arctan \left( \frac{1}{2}\ \sqrt{e^{2x} -4} \right) = \arctan \sqrt{\frac{e^x -2}{e^x +2}} \; ;
\]
ricordato che:
\[
\arctan \left( \frac{1}{t}\right) =-\frac{\pi}{2} -\arctan t\; ,
\]
ponendo \(t= \sqrt{\frac{e^x +2}{e^x -2}}\) si ricava:
\[
\arctan \sqrt{\frac{e^x -2}{e^x +2}} = -\frac{\pi}{2} -\arctan \sqrt{\frac{e^x +2}{e^x -2}}\; ,
\]
quindi:
\[
\frac{1}{2}\ \arctan \left( \frac{1}{2}\ \sqrt{e^{2x} -4} \right) = -\frac{\pi}{2} -\arctan \sqrt{\frac{e^x +2}{e^x -2}}\; .
\]
I nostri due integrali differiscono per una costante additiva e perciò sono entrambe primitive della stessa funzione.
\[
\arctan u = 2\ \arctan \frac{u}{1+\sqrt{1+u^2}}
\]
che viene fuori dalla formula di bisezione della tangente...
Infatti, posto \(u=\frac{1}{2}\ \sqrt{e^{2x} -4}\), si ha:
\[
\begin{split}
\frac{u}{1+\sqrt{1+u^2}} &= \frac{\frac{1}{2}\ \sqrt{e^{2x} -4}}{1+\sqrt{1+\frac{1}{4}\ (e^{2x} -4)}} \\
&= \frac{\frac{1}{2}\ \sqrt{e^x -2}\ \sqrt{e^x+2}}{1+\frac{1}{2}\ e^x} \\
&= \sqrt{\frac{e^x -2}{e^x +2}}\; ,
\end{split}
\]
e conseguentemente:
\[
\frac{1}{2}\ \arctan \left( \frac{1}{2}\ \sqrt{e^{2x} -4} \right) = \arctan \sqrt{\frac{e^x -2}{e^x +2}} \; ;
\]
ricordato che:
\[
\arctan \left( \frac{1}{t}\right) =-\frac{\pi}{2} -\arctan t\; ,
\]
ponendo \(t= \sqrt{\frac{e^x +2}{e^x -2}}\) si ricava:
\[
\arctan \sqrt{\frac{e^x -2}{e^x +2}} = -\frac{\pi}{2} -\arctan \sqrt{\frac{e^x +2}{e^x -2}}\; ,
\]
quindi:
\[
\frac{1}{2}\ \arctan \left( \frac{1}{2}\ \sqrt{e^{2x} -4} \right) = -\frac{\pi}{2} -\arctan \sqrt{\frac{e^x +2}{e^x -2}}\; .
\]
I nostri due integrali differiscono per una costante additiva e perciò sono entrambe primitive della stessa funzione.
Grazie gugo!
"MrMeaccia":
Devi cercare di eliminare le difficoltà: in questo caso il problema era la radice e abbiamo cercato una sostituzione che la eliminasse!
Sai che mi stavo ponendo un interresante quesito? Più di una volta ti ho visto fare delle "osservazioni" simili alle cose che io dico a lezione. Sari mica un mio studente?
eheh
A meno che non stia scrivendo un messaggio al "caro" Uguzzoni, direi di no!!
A meno che non stia scrivendo un messaggio al "caro" Uguzzoni, direi di no!!
"ciampax":
[quote="MrMeaccia"]Devi cercare di eliminare le difficoltà: in questo caso il problema era la radice e abbiamo cercato una sostituzione che la eliminasse!
Sai che mi stavo ponendo un interresante quesito? Più di una volta ti ho visto fare delle "osservazioni" simili alle cose che io dico a lezione. Sari mica un mio studente?
[/quote]Sei un professore?
dove insegni?
In un posto che da un paio di giorni è innevato... ma tanto tanto, mica Roma!
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