Integrale indefinito
Salve a tutti, sono uno studente universitario di scienze matematiche fisiche naturali.
Ora non mi limiterò a scrivere il testo dell'esercizio in questione ma farò alcune considerazioni e tentativi altrimeni mi bacchettate come c'è scritto nel regolamento no?
osservando questo integrale indefinito
[tex]\int \frac{\sqrt{2x-x^2}}{x}dx[/tex]
ho provato prima a farlo per parti e la situazione non migliora.
Poi ho pensato a una sostituzione del tipo [tex]t = 2x-x^2[/tex] e l'integrale che viene fuori non è dei migliori nemmeno in questo caso...
di fatti abbiamo [tex]\frac{\sqrt{t}}{2(\sqrt{1+t}+1)\sqrt{1-t}}[/tex]
Qualsiasi buon samaritano che mi da una mano è ben accetto!
[OT]Ah cmq giusto per violare un pò il regolamento: tvb cmq msg, prcd.
Ora non mi limiterò a scrivere il testo dell'esercizio in questione ma farò alcune considerazioni e tentativi altrimeni mi bacchettate come c'è scritto nel regolamento no?
osservando questo integrale indefinito
[tex]\int \frac{\sqrt{2x-x^2}}{x}dx[/tex]
ho provato prima a farlo per parti e la situazione non migliora.
Poi ho pensato a una sostituzione del tipo [tex]t = 2x-x^2[/tex] e l'integrale che viene fuori non è dei migliori nemmeno in questo caso...
di fatti abbiamo [tex]\frac{\sqrt{t}}{2(\sqrt{1+t}+1)\sqrt{1-t}}[/tex]
Qualsiasi buon samaritano che mi da una mano è ben accetto!
[OT]Ah cmq giusto per violare un pò il regolamento: tvb cmq msg, prcd.
Risposte
Il radicando può scriversi [tex]1-1 +2x-x^2 = 1-(x-1)^2[/tex], quindi potresti provare con la sostituzione [tex]x-1 = \sin t[/tex].
Paola
Paola
Ok ho colto il tuo suggerimento, rivediamo i passaggi:
[tex]\int\frac{\sqrt{1-(x-1)^2}}{x}[/tex]
abbiamo
[tex]x-1=sint[/tex]quindi[tex]x=sint+1[/tex]e poi ci servirà[tex]t=-arcsin(1-x)[/tex]
abbiamo inoltre che [tex]dx=costdt[/tex]
e il nostro integrale diventa:
[tex]\int{\frac{cos^2(t)}{sin(t)+1}}[/tex]
e qui mi riblocco.
Un'altra cosa: il passaggio [tex]t=-arcsin(1-x)[/tex] viene da Mathematica, perchè non capisco la presenza di quel -.
[tex]\int\frac{\sqrt{1-(x-1)^2}}{x}[/tex]
abbiamo
[tex]x-1=sint[/tex]quindi[tex]x=sint+1[/tex]e poi ci servirà[tex]t=-arcsin(1-x)[/tex]
abbiamo inoltre che [tex]dx=costdt[/tex]
e il nostro integrale diventa:
[tex]\int{\frac{cos^2(t)}{sin(t)+1}}[/tex]
e qui mi riblocco.
Un'altra cosa: il passaggio [tex]t=-arcsin(1-x)[/tex] viene da Mathematica, perchè non capisco la presenza di quel -.
Visto che [tex]$\cos^2 t=1-\sin^2 t=(1+\sin t)(1-\sin t)$[/tex] l'integrale diventa
[tex]$\int(1-\sin t)\ dt$[/tex]
che dovresti riuscire a risolvere facilmente. per l'altra tua domanda, osserva che [tex]$\arcsin(-y)=-\arcsin y$[/tex] per cui
[tex]$t=-\arcsin(1-x)=-\arcsin(-(x-1))=\arcsin(x-1)$[/tex] che è quello che ottieni da [tex]$x-1=\sin t$[/tex]
[tex]$\int(1-\sin t)\ dt$[/tex]
che dovresti riuscire a risolvere facilmente. per l'altra tua domanda, osserva che [tex]$\arcsin(-y)=-\arcsin y$[/tex] per cui
[tex]$t=-\arcsin(1-x)=-\arcsin(-(x-1))=\arcsin(x-1)$[/tex] che è quello che ottieni da [tex]$x-1=\sin t$[/tex]
La tua risposta è molto esauriente.
L'unica cosa amara che rimane da questo discorso è che non sarei mai riuscito a fare questi passaggi da me, questa è la questione.
Ma forse c'è poco da spiegare a riguardo.
Forse, un giorno, vedrò questi articoli da me e come voi, mi salterà in mente la strada giusta da percorrere e la saprò applicare.
Alla prossima... presto(?)
L'unica cosa amara che rimane da questo discorso è che non sarei mai riuscito a fare questi passaggi da me, questa è la questione.
Ma forse c'è poco da spiegare a riguardo.
Forse, un giorno, vedrò questi articoli da me e come voi, mi salterà in mente la strada giusta da percorrere e la saprò applicare.
Alla prossima... presto(?)
La tua risposta è molto esauriente.
L'unica cosa amara che rimane da questo discorso è che non sarei mai riuscito a fare questi passaggi da me, questa è la questione.
Ma forse c'è poco da spiegare a riguardo.
Forse, un giorno, vedrò questi articoli da me e come voi, mi salterà in mente la strada giusta da percorrere e la saprò applicare.
Alla prossima... presto(?)
L'unica cosa amara che rimane da questo discorso è che non sarei mai riuscito a fare questi passaggi da me, questa è la questione.
Ma forse c'è poco da spiegare a riguardo.
Forse, un giorno, vedrò questi articoli da me e come voi, mi salterà in mente la strada giusta da percorrere e la saprò applicare.
Alla prossima... presto(?)