Integrale indefinito
devo svolgere il seguente integrale :
$int 1/(1+x^2)^2$ sul libro lo mette nella sezione di quelli da svolgere per parti quindi considerando $f(x)= 1/(1+x^2)^2$ e $g'(x)=1$ applicando la formula giungo a $x/(1+x^2)^2+int(4x^2)/(1+x^2)^3$ ma per svolgere $int(4x^2)/(1+x^2)^3$ come faccio? ho provato con hermite ma il sistema esce incompatibile. come fareste voi?
$int 1/(1+x^2)^2$ sul libro lo mette nella sezione di quelli da svolgere per parti quindi considerando $f(x)= 1/(1+x^2)^2$ e $g'(x)=1$ applicando la formula giungo a $x/(1+x^2)^2+int(4x^2)/(1+x^2)^3$ ma per svolgere $int(4x^2)/(1+x^2)^3$ come faccio? ho provato con hermite ma il sistema esce incompatibile. come fareste voi?
Risposte
Ma in che modo hai decomposto con Hermite? Hai tenuto conto che le radici del denominatore sono complesse e hanno molteplicità multipla?
Tutti gli integrali del tipo 1/(1+x^2)^n hanno un procedimento di default.
Ricordo addirittura una formula di ricorrenza.
Se sei interessato fammelo sapere.
Ricordo addirittura una formula di ricorrenza.
Se sei interessato fammelo sapere.
Si, speculator sarei interessatA alla risoluzione di integrali di questo tipo perchè ne ho diversi e solo ora ho fatto caso che sono tutti riconducibili al modello $1/(1+x^2)^n$. sul libro ho proprio $1/(1+x^2)^n$ con lo svolgimento però ci sono dei passaggi alla fine che non mi sono chiari... mi pare che lo faccia per parti...
grazie
grazie
Non si fa per parti come hai proposto, perchè, come ti sarai già accorta, alla fine il grado del polinomio al denominatore aumenta invece di diminuire.
L'idea per svolgere quegli integrali è la seguente: se indico con [tex]I_n:=\int \frac{1}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x[/tex], ho evidentemente [tex]$I_1=\arctan x +C$[/tex]; se invece [tex]$n\geq 2$[/tex], sommando e sottraendo [tex]$x^2$[/tex] al numeratore dell'integrando trovo:
[tex]$I_n=\int \frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\int \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}\ \text{d} x - \int \frac{x^2}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=I_{n-1}-\int \frac{x^2}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x$[/tex];
l'integrale che figura all'ultimo membro lo calcolo per parti, con fattore differenziale [tex]\frac{x}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x= \text{d}[\frac{1}{2(1-n)}\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}][/tex] e fattore finito [tex]$x$[/tex]:
[tex]$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x = \int x\ \frac{x}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=x\ \frac{1}{2(1-n)} \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}-\frac{1}{2(1-n)}\int \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{2(1-n)} \frac{x}{(1+x^2)^{n-1}} - \frac{1}{2(1-n)}\ I_{n-1}$[/tex]
(qui si ho lasciato da parte la costante arbitraria, perchè la posso inglobare direttamente nel risultato finale dell'integrale che sto calcolando); quindi:
[tex]$I_n=I_{n-1}+\frac{1}{2(1-n)}\ I_{n-1} + \frac{1}{2(n-1)}\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}$[/tex],
ossia:
[tex]$I_n=\frac{2n-3}{2(n-1)}\ I_{n-1} +\frac{1}{2(n-1)}\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}$[/tex].
Quindi la successione [tex]$I_n$[/tex] è caratterizzata dalla seguente ricorrenza:
[tex]$\begin{cases} I_n=\frac{2n-3}{2(n-1)}\ I_{n-1} +\frac{1}{2(n-1)}\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}} &\text{, per $n\geq 2$} \\ I_1=\arctan x +C\end{cases}$[/tex].
L'idea per svolgere quegli integrali è la seguente: se indico con [tex]I_n:=\int \frac{1}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x[/tex], ho evidentemente [tex]$I_1=\arctan x +C$[/tex]; se invece [tex]$n\geq 2$[/tex], sommando e sottraendo [tex]$x^2$[/tex] al numeratore dell'integrando trovo:
[tex]$I_n=\int \frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\int \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}\ \text{d} x - \int \frac{x^2}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=I_{n-1}-\int \frac{x^2}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x$[/tex];
l'integrale che figura all'ultimo membro lo calcolo per parti, con fattore differenziale [tex]\frac{x}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x= \text{d}[\frac{1}{2(1-n)}\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}][/tex] e fattore finito [tex]$x$[/tex]:
[tex]$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x = \int x\ \frac{x}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=x\ \frac{1}{2(1-n)} \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}-\frac{1}{2(1-n)}\int \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{2(1-n)} \frac{x}{(1+x^2)^{n-1}} - \frac{1}{2(1-n)}\ I_{n-1}$[/tex]
(qui si ho lasciato da parte la costante arbitraria, perchè la posso inglobare direttamente nel risultato finale dell'integrale che sto calcolando); quindi:
[tex]$I_n=I_{n-1}+\frac{1}{2(1-n)}\ I_{n-1} + \frac{1}{2(n-1)}\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}$[/tex],
ossia:
[tex]$I_n=\frac{2n-3}{2(n-1)}\ I_{n-1} +\frac{1}{2(n-1)}\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}$[/tex].
Quindi la successione [tex]$I_n$[/tex] è caratterizzata dalla seguente ricorrenza:
[tex]$\begin{cases} I_n=\frac{2n-3}{2(n-1)}\ I_{n-1} +\frac{1}{2(n-1)}\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}} &\text{, per $n\geq 2$} \\ I_1=\arctan x +C\end{cases}$[/tex].
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