Integrale indefinito
ciao, devo risolvere il seguente integrale:
$ int 1/(x^2-5x+6) $
dopo aver verificato che il delta è >0 ho scritto il denominatore come $(x-5/2)^2-1/4$ giungendo quindi al risultato finale di $-2 sett tg h (2x-5) + c$.
il libro lo svolge in modo differente cioè scrivendo il denominatore come $(x+5/2)^2-1/4$ ed ottenendo quindi lo stesso risultato cui sono giunta io ma con argomento $(2x+5)$
perché lo scrive come quadrato di una somma anche se $2ab=-5x$?
inoltre $(x+5/2)^2-1/4 = x^2+6+5x$ che è diverso dal denominatore iniziale. è forse un errore del libro?
$ int 1/(x^2-5x+6) $
dopo aver verificato che il delta è >0 ho scritto il denominatore come $(x-5/2)^2-1/4$ giungendo quindi al risultato finale di $-2 sett tg h (2x-5) + c$.
il libro lo svolge in modo differente cioè scrivendo il denominatore come $(x+5/2)^2-1/4$ ed ottenendo quindi lo stesso risultato cui sono giunta io ma con argomento $(2x+5)$
perché lo scrive come quadrato di una somma anche se $2ab=-5x$?
inoltre $(x+5/2)^2-1/4 = x^2+6+5x$ che è diverso dal denominatore iniziale. è forse un errore del libro?
Risposte
Il denominatore ha due radici reali distinte. Puoi decomporre la funzione integranda in fratti semplici... Perché lo risolvi in quel modo?
Direi proprio di sì. Il tuo risultato è quello corretto.
Si poteva anche fare in un altro modo:
$1/(x^2-5x+6)=1/((x-3)*(x-2))$
Troviamo $A, B in RR$ tali che $1/((x-3)*(x-2))=A/(x-3) + B/(x-2)$
Facendo i conti si ottiene $A=1$, $B=-1$. L'integrale pertanto diventa:$int [1/(x-3)-1/(x-2)] dx
$ =int 1/(x-3) dx -int 1/(x-2) dx= ln|x-3|-ln|x-2|+c= ln|((x-3)/(x-2))|+c$, con $c in RR$
E non pensare che il tuo risultato sia diverso: infatti $tanh^(-1)(x)=1/2ln((1+x)/(1-x))$
Quindi $-2tanh^(-1)(2x-5)=-2*1/2*ln|(2x-5+1)/(-2x+5+1)|=-ln|(2x-4)/(-2x+6)|=-ln|(x-2)/(x-3)|=ln|(x-3)/(x-2)|$
Si poteva anche fare in un altro modo:
$1/(x^2-5x+6)=1/((x-3)*(x-2))$
Troviamo $A, B in RR$ tali che $1/((x-3)*(x-2))=A/(x-3) + B/(x-2)$
Facendo i conti si ottiene $A=1$, $B=-1$. L'integrale pertanto diventa:$int [1/(x-3)-1/(x-2)] dx
$ =int 1/(x-3) dx -int 1/(x-2) dx= ln|x-3|-ln|x-2|+c= ln|((x-3)/(x-2))|+c$, con $c in RR$
E non pensare che il tuo risultato sia diverso: infatti $tanh^(-1)(x)=1/2ln((1+x)/(1-x))$
Quindi $-2tanh^(-1)(2x-5)=-2*1/2*ln|(2x-5+1)/(-2x+5+1)|=-ln|(2x-4)/(-2x+6)|=-ln|(x-2)/(x-3)|=ln|(x-3)/(x-2)|$
avete ragione! risolverlo con i fratti semplici è parecchio più semplice!
non ci avevo proprio pensato perchè sul libro ci son diversi esercizi svolti con il quadrato e sono andata spedita su quella modalità di risoluzione...
in ogni caso risolvendolo con le funzioni iperboliche l'argomento mi pare di aver capito che è $2x-5$ quindi sul libro deve esserci un errore.
grazie mille ad entrambi
non ci avevo proprio pensato perchè sul libro ci son diversi esercizi svolti con il quadrato e sono andata spedita su quella modalità di risoluzione...
in ogni caso risolvendolo con le funzioni iperboliche l'argomento mi pare di aver capito che è $2x-5$ quindi sul libro deve esserci un errore.
grazie mille ad entrambi
Per sapere se hai fatto correttamente basta derivare la primitiva. 
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