Integrale indefinito
[tex]\int\frac{1}{x^2}arctg(x^2)[/tex]
Come suggerite di procedere?
Mi verrebbe da pensare per parti, ma non so cosa scegliere come fattore differenziale...e finito.
Come suggerite di procedere?
Mi verrebbe da pensare per parti, ma non so cosa scegliere come fattore differenziale...e finito.
Risposte
Scusa, ma tra [tex]$\frac{1}{x^2}$[/tex] ed [tex]$\arctan x^2$[/tex] ce n'è una sola che sai integrare "ad occhio"...
Quindi dov'è il problema della scelta?
Quindi dov'è il problema della scelta?
Dovrei porre:
[tex]f(x)=\arctan(x^2)[/tex] [tex]f'(x)=\frac{2x}{1+x^4}[/tex]
[tex]g(x)=-\frac{1}{x}[/tex] [tex]g'(x)=\frac{1}{x^2}[/tex]
Se non ho fatto errori...
[tex]f(x)=\arctan(x^2)[/tex] [tex]f'(x)=\frac{2x}{1+x^4}[/tex]
[tex]g(x)=-\frac{1}{x}[/tex] [tex]g'(x)=\frac{1}{x^2}[/tex]
Se non ho fatto errori...
"Darèios89":
Dovrei porre:
[tex]f(x)=\arctan(x^2)[/tex] [tex]f'(x)=\frac{2x}{1+x^4}[/tex]
[tex]g(x)=-\frac{1}{x}[/tex] [tex]g'(x)=\frac{1}{x^2}[/tex]
Se non ho fatto errori...
esatto
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 28%281%2Fx^2%29*arctg%28x^2%29
copia tutto e fai show steps
copia tutto e fai show steps
Mh, io sono arrivato qui:
[tex]-\frac{\arctan(x^2)}{x}-\int-\frac{2x}{x(1+x^4)}[/tex]
Secondo voi è corretto?
Se si intravedo un [tex]\arctan(x^2)[/tex]
Il problema è come ottenerlo spezzando l'integrale....
[tex]-\frac{\arctan(x^2)}{x}-\int-\frac{2x}{x(1+x^4)}[/tex]
Secondo voi è corretto?
Se si intravedo un [tex]\arctan(x^2)[/tex]
Il problema è come ottenerlo spezzando l'integrale....
è corretto il calcolo, ma purtroppo ti si semplifica la $x$ e quindi se $x^4$ fosse il quadrato dell'argomento dell'arcotangente ti mancherebbe la derivata di $x^2$.
ti viene un integrale che è già stato "risolto" più volte sul forum: devi scomporre con un artificio il denominatore.
$1+x^4+2x^2-2x^2=(1+x^2)^2-(sqrt2x)^2= ... $
ti viene un integrale che è già stato "risolto" più volte sul forum: devi scomporre con un artificio il denominatore.
$1+x^4+2x^2-2x^2=(1+x^2)^2-(sqrt2x)^2= ... $
Emh...non capisco per ottenere cosa...cioè lo scopo sarebbe scomporre per ottenere cosa esattamente?
per utilizzare il metodo di integrazione per fratti semplici: scomponendolo, vengono due termini di secondo grado irriducibili:
devi porre
$(Ax+B)/("primo fattore")+(Cx+D)/("secondo fattore") -= 2/(1+x^4)$
naturalmente il $2$ viene da $-(-2x)/x$
devi porre
$(Ax+B)/("primo fattore")+(Cx+D)/("secondo fattore") -= 2/(1+x^4)$
naturalmente il $2$ viene da $-(-2x)/x$
Mh...ma quindi...per come lo hai scritto e scomposto tu significa che già posso intergrare per fratti semplici?
Cioè:
[tex]\frac{Ax+B}{(1+x^2)^2}-\frac{C}{({\sqrt{2}x})^2}}[/tex]
Cioè:
[tex]\frac{Ax+B}{(1+x^2)^2}-\frac{C}{({\sqrt{2}x})^2}}[/tex]
io ho parlato di "fattori", non di "addendi", e non li ho riportati perché la scomposizione non era ultimata: devi scrivere il risultato della scomposizione dopo che io ti ho scritto il polinomio come differenza di quadrati ...
"Darèios89":
Mh...ma quindi...per come lo hai scritto e scomposto tu significa che già posso intergrare per fratti semplici?
[tex]\frac{Ax+B}{(1+x^2)^2}-\frac{C}{({\sqrt{2}x})^2}}[/tex]
Cioè, forse stavolta la sparo grossa...ma come per:
[tex](x^2-1)^2=(x-1)(x+1)[/tex]
Cioè..devo trattarla come differenza di quadrati e scriverla come:
[tex][(1+x^2)-(\sqrt{2}x)][(1+x^2)+(\sqrt{2}x)][/tex] ?
E poi in fratti semplici..ammesso che sia corretto..
la formula è quella, anche se ci hai messo un quadrato di troppo. il risultato della scomposizione (che devi vedere senza le parentesi tonde interne) è esatto.
Ma chi li ha inventati gli integrali...proprio non li sopporto 
Bene, ora vediamo, praticamente devo determinare:
[tex]\frac{A}{1+x-\sqrt{2}x}+\frac{B}{1+x+\sqrt{2}x}[/tex]
A me le soluzioni del sistema vengono per A e B entrambe 1.
Il risultato a me viene:
[tex]-\frac{\arctan{x^2}}{x}+\frac{log|1+x-\sqrt{2}x|}{1-\sqrt{2}}+\frac{log|1+x+\sqrt{2}x|}{1+\sqrt{2}}[/tex]
Bene, ora vediamo, praticamente devo determinare:
[tex]\frac{A}{1+x-\sqrt{2}x}+\frac{B}{1+x+\sqrt{2}x}[/tex]
A me le soluzioni del sistema vengono per A e B entrambe 1.
Il risultato a me viene:
[tex]-\frac{\arctan{x^2}}{x}+\frac{log|1+x-\sqrt{2}x|}{1-\sqrt{2}}+\frac{log|1+x+\sqrt{2}x|}{1+\sqrt{2}}[/tex]
$x^2$ che fine ha fatto?
gira pagina, torna indietro ad un altro mio post e vedrai che di "lettere" da determinare ce ne sono 4 ...
gira pagina, torna indietro ad un altro mio post e vedrai che di "lettere" da determinare ce ne sono 4 ...
Mi perdo nel sistema...
Dovrebbe essere:
[tex]x^3(A+B)+x(A+B\sqrt{2}+B-D\sqrt{2})+x^2(B+A\sqrt{2}+D-B\sqrt{2})+B+D[/tex] ?
Dovrebbe essere:
[tex]x^3(A+B)+x(A+B\sqrt{2}+B-D\sqrt{2})+x^2(B+A\sqrt{2}+D-B\sqrt{2})+B+D[/tex] ?
"Darèios89":
Mi perdo nel sistema...
Dovrebbe essere:
[tex]x^3(A+B)+x(A+B\sqrt{2}+B-D\sqrt{2})+x^2(B+A\sqrt{2}+D-B\sqrt{2})+B+D[/tex] ?
hai usato B anche al posto di C. dovrebbe essere:
[tex]x^3(A+C)+x(A+B\sqrt{2}+C-D\sqrt{2})+x^2(B+A\sqrt{2}+D-C\sqrt{2})+B+D[/tex]
il tutto "equivalente" (polinomio identico) a $2$
No aspetta, tutto equivalente a 2?
Non si risolve ponendo il primo argomento(A+C)=0 poichè non ci sono termini di terzo grado.
Poi il secondo pure uguale a 0 per lo stesso motivo e anche il terzo.E solo B+D=2 poichè c'è una costante che vale 2.
O sbaglio?
Non si risolve ponendo il primo argomento(A+C)=0 poichè non ci sono termini di terzo grado.
Poi il secondo pure uguale a 0 per lo stesso motivo e anche il terzo.E solo B+D=2 poichè c'è una costante che vale 2.
O sbaglio?
devo farti la "cronistoria"?
Cioè, forse stavolta la sparo grossa...ma come per:
[tex](x^2-1)^2=(x-1)(x+1)[/tex]
Cioè..devo trattarla come differenza di quadrati e scriverla come:
[tex][(1+x^2)-(\sqrt{2}x)][(1+x^2)+(\sqrt{2}x)][/tex] ?
E poi in fratti semplici..ammesso che sia corretto..[/quote]
hai usato B anche al posto di C. dovrebbe essere:
[tex]x^3(A+C)+x(A+B\sqrt{2}+C-D\sqrt{2})+x^2(B+A\sqrt{2}+D-C\sqrt{2})+B+D[/tex]
il tutto "equivalente" (polinomio identico) a $2$[/quote]
$(Ax+B)/("primo fattore")+(Cx+D)/("secondo fattore") -= 2/(1+x^4)$
significa
$(Ax+B)/(x^2-sqrt2x+1)+(Cx+D)/(x^2+sqrt2x+1) -= 2/(1+x^4)$
"Darèios89":
Mh, io sono arrivato qui:
[tex]-\frac{\arctan(x^2)}{x}-\int-\frac{2x}{x(1+x^4)}[/tex]
Secondo voi è corretto?
Se si intravedo un [tex]\arctan(x^2)[/tex]
Il problema è come ottenerlo spezzando l'integrale....
"adaBTTLS":
è corretto il calcolo, ma purtroppo ti si semplifica la $x$ e quindi se $x^4$ fosse il quadrato dell'argomento dell'arcotangente ti mancherebbe la derivata di $x^2$.
ti viene un integrale che è già stato "risolto" più volte sul forum: devi scomporre con un artificio il denominatore.
$1+x^4+2x^2-2x^2=(1+x^2)^2-(sqrt2x)^2= ... $
"adaBTTLS":
per utilizzare il metodo di integrazione per fratti semplici: scomponendolo, vengono due termini di secondo grado irriducibili:
devi porre
$(Ax+B)/("primo fattore")+(Cx+D)/("secondo fattore") -= 2/(1+x^4)$
naturalmente il $2$ viene da $-(-2x)/x$
"Darèios89":
[quote="Darèios89"]Mh...ma quindi...per come lo hai scritto e scomposto tu significa che già posso intergrare per fratti semplici?
[tex]\frac{Ax+B}{(1+x^2)^2}-\frac{C}{({\sqrt{2}x})^2}}[/tex]
Cioè, forse stavolta la sparo grossa...ma come per:
[tex](x^2-1)^2=(x-1)(x+1)[/tex]
Cioè..devo trattarla come differenza di quadrati e scriverla come:
[tex][(1+x^2)-(\sqrt{2}x)][(1+x^2)+(\sqrt{2}x)][/tex] ?
E poi in fratti semplici..ammesso che sia corretto..[/quote]
"adaBTTLS":
[quote="Darèios89"]Mi perdo nel sistema...
Dovrebbe essere:
[tex]x^3(A+B)+x(A+B\sqrt{2}+B-D\sqrt{2})+x^2(B+A\sqrt{2}+D-B\sqrt{2})+B+D[/tex] ?
hai usato B anche al posto di C. dovrebbe essere:
[tex]x^3(A+C)+x(A+B\sqrt{2}+C-D\sqrt{2})+x^2(B+A\sqrt{2}+D-C\sqrt{2})+B+D[/tex]
il tutto "equivalente" (polinomio identico) a $2$[/quote]
$(Ax+B)/("primo fattore")+(Cx+D)/("secondo fattore") -= 2/(1+x^4)$
significa
$(Ax+B)/(x^2-sqrt2x+1)+(Cx+D)/(x^2+sqrt2x+1) -= 2/(1+x^4)$
Scusami, non sono porato per i sistemi.
Ma quindi ogni termine viene uguagliato a 2?
Avrei
[tex]A+C=2[/tex]
[tex]A+B\sqrt{2}+C-D\sqrt{2}=2[/tex]
[tex]B+A\sqrt{2}+D-C\sqrt{2}=2[/tex]
[tex]B+D=2[/tex]
Ho provato così...si fa per sostituzione immagino...
Ma quindi ogni termine viene uguagliato a 2?
Avrei
[tex]A+C=2[/tex]
[tex]A+B\sqrt{2}+C-D\sqrt{2}=2[/tex]
[tex]B+A\sqrt{2}+D-C\sqrt{2}=2[/tex]
[tex]B+D=2[/tex]
Ho provato così...si fa per sostituzione immagino...
no, solo il termine di grado zero, mentre gli altri a zero: quello che ti viene deve essere il polinomio identico a $0x^3+0x^2+0x+2$:
dunque
[tex]A+C=0[/tex]
[tex]A+B\sqrt{2}+C-D\sqrt{2}=0[/tex]
[tex]B+A\sqrt{2}+D-C\sqrt{2}=0[/tex]
[tex]B+D=2[/tex]
...almeno credo: cercavo di rileggerlo, ma ha già cambiato pagina...
se stai attento a seguire qualche ordine più conveniente, te la cavi con pochissimi calcoli (per questo sistema...).
dunque
[tex]A+C=0[/tex]
[tex]A+B\sqrt{2}+C-D\sqrt{2}=0[/tex]
[tex]B+A\sqrt{2}+D-C\sqrt{2}=0[/tex]
[tex]B+D=2[/tex]
...almeno credo: cercavo di rileggerlo, ma ha già cambiato pagina...
se stai attento a seguire qualche ordine più conveniente, te la cavi con pochissimi calcoli (per questo sistema...).
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