Integrale indefinito

[Danying]

Salve vorrei un consiglio su come approcciare questo integrale:

$int (1)/[sin^4(x)] dx$

ho pensato che il seguente integrale si può vedere come $ int 1/[sin^2(x)]^2 dx$

....

sono bloccato quì...


edit: dx

[K.Lomax]

[tex]\displaystyle\int\frac{1}{\sin^4(x)}\text{d}x=\displaystyle\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^4(x)}\text{d}x=\displaystyle\int\frac{1}{\sin^2(x)}+\frac{\cot^2(x)}{\sin^2(x)}\text{d}x[/tex]

[j18eos]

Ci manca un $dx$ al numeratore

Basta ricordarti, inoltre, al numeratore che $cos^2x+sin^2x=1$ e che $\int \frac{ctg^2x}{sin^2x}dx$ si risolve per sostituzione.

EDIT: battuto sul tempo!

[Danying]

"K.Lomax":[tex]\displaystyle\int\frac{1}{\sin^4(x)}\text{d}x=\displaystyle\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^4(x)}\text{d}x=\displaystyle\int\frac{1}{\sin^2(x)}+\frac{\cot^2(x)}{\sin^2(x)}\text{d}x[/tex]

$-cotgx +$ il primo...

mentre
$(cotg^2x)/(sin^2x)$ <--è un integrale che si dovrebbe saper a memoria?

[Danying]

"j18eos":Ci manca un $dx$ al numeratore

Basta ricordarti, inoltre, al numeratore che $cos^2x+sin^2x=1$ e che $\int \frac{ctg^2x}{sin^2x}dx$ si risolve per sostituzione.

EDIT: battuto sul tempo!

con quale sostituzione?

[K.Lomax]

Naa niente sostituzione, quell'integrale è praticamente immediato.

[j18eos]

Ricordati la derivata della cotangente!

Dopo che l'avrai risolto ti deluciderò sul mistero della sostituzione

[Danying]

"j18eos":Ricordati la derivata della cotangente!

Dopo che l'avrai risolto ti deluciderò sul mistero della sostituzione

la derivata della contangente è $-(1)/(sin^2x)$

la sostituzione la so applicare.. ma ad integrali davvero elementari dove compare uno al numeratore e una semplice funzione polinomiale al denominatore;

in questo caso $cotg^2x =t $
$-(1)/(sin^2x) dx=dt$ -----> $dx= (dt)/(-1/sinx^2)$


ci ho provato

[j18eos]

Eccola qui la soluzione dell'enigma: $\int\frac{\cotg^2x}{\sin^2x}dx=-\int\frac{\cotg^2x}{-\sin^2x}dx=-\int\cotg^2xd(\cotg x)=-\frac{1}{3}\cotg^3x+c$ si tratta pur sempre di una sostituzione
Ci eri pure (quasi) arrivato ma ti sei imbrogliato col conto

[Danying]

"j18eos":Eccola qui la soluzione dell'enigma: $\int\frac{\cotg^2x}{\sin^2x}dx=-\int\frac{\cotg^2x}{-\sin^2x}dx=-\int\cotg^2xd(\cotg x)=-\frac{1}{3}\cotg^3x+c$ si tratta pur sempre di una sostituzione
Ci eri pure (quasi) arrivato ma ti sei imbrogliato col conto

non ho capito il primo e l'ultimo passaggio:

come mai metti due "meno" davanti e dopo l'integrale


$-\int\frac{\cotg^2x}{-\sin^2x}dx$ e poi conseguentemente $1/3$ da dove spunta ?



thankx

[j18eos]

I 2 "meno" per non cambiare il segno all'integrale e la sostituzione velata è $t=\cotg x$ nell'ultimo integrale -_-

[Danying]

"j18eos":I 2 "meno" per non cambiare il segno all'integrale e la sostituzione velata è $t=\cotg x$ nell'ultimo integrale -_-

allora il mio problema non è tanto applicare la sostituzione; ma ricavare la "x"

allora

abbiamo


$int (cotg^2x)/(sin^2x) dx$ sostituiamo $ cot^2x=t$ ricaviamo la "x" : è questo il passaggio che mi crea problemi in esercizi del genere: come isolo e ricavo la x ?


per esempio in $e^x=t$ mi torna utile che : $a^b=x$ segue che $b=log_a x$


ma in altri casi... come in questo ?

non so come ricavare la x ... perchè non ho capito bene il concetto!

[j18eos]

Ti riporto il conto completo $\int\frac{\cotg^2x}{\sin^2x}dx=-\int\frac{\cotg^2x}{-\sin^2x}dx=-\int\cotg^2xd(\cotg x)=-\int t^2dt=-\frac{1}{3}t^3+c=-\frac{1}{3}\cotg^3x+c$ ove sottolineo che $t=\cotg x$ e $dt=-\frac{dx}{\sin^2x}=d(\cotg x)$.

In questo caso non hai bisogno di ricavare la $x$ in funzione di $t$ in virtù del III passaggio: vi compare in esso il differenziale della cotangente per cui conviene la sostituzione operata da me!

Si cerca di ricondursi a tale tipologia per la sostituzione altrimenti possono uscire fuori delle forme assurde.

[Danying]

"j18eos":Ti riporto il conto completo $\int\frac{\cotg^2x}{\sin^2x}dx=-\int\frac{\cotg^2x}{-\sin^2x}dx=-\int\cotg^2xd(\cotg x)=-\int t^2dt=-\frac{1}{3}t^3+c=-\frac{1}{3}\cotg^3x+c$ ove sottolineo che $t=\cotg x$ e $dt=-\frac{dx}{\sin^2x}=d(\cotg x)$.

In questo caso non hai bisogno di ricavare la $x$ in funzione di $t$ in virtù del III passaggio: vi compare in esso il differenziale della cotangente per cui conviene la sostituzione operata da me!

Si cerca di ricondursi a tale tipologia per la sostituzione altrimenti possono uscire fuori delle forme assurde.

c'è un anello mancante:
forse nella mia testa XD


allora...scusami, prima di effettuare qualsiasi sostituzione; voglio dire ma $-\int\frac{\cotg^2x}{-\sin^2x}dx=$ non è uguale ad $ int cotg^2x*csc^2x dx$ ? !!ecco;

a questo punto che facciamo :

a) integriamo per parti?
b) ci riconduciamo ad $-\int\cotg^2xd(\cotg x)$--> e come ?

mi scuso per non aver scritto prima in maniera esplicita il passaggio che non comprendo!

thankx!!!!!

[j18eos]

Accendiamo la opzione (b) e la accettiamo, utilizzi la sostituzione $t=\cotg x$ e prosegui come ho postato.

Ricordo ancora che $-frac{1}{\sin^2x}dx=-\csc^2xdx=d\cotg x$

[Danying]

"j18eos":Accendiamo la opzione (b) e la accettiamo, utilizzi la sostituzione $t=\cotg x$ e prosegui come ho postato.

Ricordo ancora che $-frac{1}{\sin^2x}dx=-\csc^2xdx=d\cotg x$

potevo capire questo passaggio nel caso ci sarebbe stato:

$ int cotgx* csc^2x dx$ sostituzione lecita, anche perchè presente nell'integrale $ f(x)$ ed $f'(x)$


sostituendo $t= cotgx$ come hai detto giustificherebbe l'uguaglianza con $ dt= -csc^2x dx$ :

quel che mi crea dubbio è che $ cotgx$ è presente alla seconda $ cotgx^2$

sostituendo così si ha $t^2$ che poi integrando da il risultato finale; ma questo $t^2$ non ha corrispondenza con il $dt$

perchè la derivata di $cotg^2x= - [2COS(x)]/[SIN(x)^3]$ a meno che di non manipolare al numeratore $ 2cos(x)$ non vedo la soluzione e neanche....

[j18eos]

"mat100":...ma questo $t^2$ non ha corrispondenza con il $dt$

perchè la derivata di $cotg^2x= - [2COS(x)]/[SIN(x)^3]$...

Infatti non ho scritto $d(t^2)$ ma $dt$!

[Danying]

"j18eos":[quote="mat100"]...ma questo $t^2$ non ha corrispondenza con il $dt$

perchè la derivata di $cotg^2x= - [2COS(x)]/[SIN(x)^3]$...

Infatti non ho scritto $d(t^2)$ ma $dt$![/quote]

e appunto come fai a scrivere $dt$ quando nell'integrale di partenza la funzione non è quella scusa?

non puoi derivare una sostituzione se la funzione nell'integrale è $x^2$ sostituisci $x=t$ e di derivi la x?

non dovresti derivarti $ t^2$
prima di chiarire i dubbi analitici, meglio rafforzare i concetti !

[j18eos]

Te l'ho scritto 3 post fà -_-

[Danying]

"j18eos":Te l'ho scritto 3 post fà -_-

che sciocco!


in effetti $ dt$ e non $ d f(t)$


grazie mille j18: