Integrale indefinito
Ciao ragazzi. Vorrei risolvere questo integrale che mi sta creando problemi.
int(x^2/(x+1)
potreste anche dirmi come si fa? grazie
int(x^2/(x+1)
potreste anche dirmi come si fa? grazie
Risposte
Scrivendo [tex]\frac{x^2}{x+1}=x-\frac{x}{x+1}[/tex]?
@lemming: Vedo che ti sei iscritto tempo fa ma hai postato poco. Scorrendo i tuoi messaggi vecchi inoltre si nota che hai sempre ricevuto pochissime risposte. Questo per due motivi:
1) Non scrivi correttamente le formule (clic per istruzioni);
2) Proponi sempre domande secche e generiche, senza spiegare i tuoi tentativi di risoluzione e/o senza indicare aspetti specifici da chiarire.
Cerca di risolvere questi problemi. Consulta anche questo link. Grazie per l'attenzione.
1) Non scrivi correttamente le formule (clic per istruzioni);
2) Proponi sempre domande secche e generiche, senza spiegare i tuoi tentativi di risoluzione e/o senza indicare aspetti specifici da chiarire.
Cerca di risolvere questi problemi. Consulta anche questo link. Grazie per l'attenzione.
Devi spezzare la frazione , anche se il suggerimento di Lomax è sbagliato, poichè quando vai a dividere il numeratore per il denominatore ottieni:
$x-1+1/(x+1)$
Ora spezza l'integrale nella somma algebrica dei tre integrali elementari e risolvi
$x-1+1/(x+1)$
Ora spezza l'integrale nella somma algebrica dei tre integrali elementari e risolvi
"Nicole93":
Devi spezzare la frazione , anche se il suggerimento di Lomax è sbagliato, poichè quando vai a dividere il numeratore per il denominatore ottieni:
$x-1+1/(x+1)$
Ora spezza l'integrale nella somma algebrica dei tre integrali elementari e risolvi
Secondo me il suggerimento di Lomax non è sbagliato.
Il tuo è indubbiamente rapido e corretto.
Diciamo che Lomax ha solo dato il "la": ovviamente per poter integrare $x/(x+1)$ la cosa più furba che viene in mente è aggiungere e sottrarre 1 al numeratore, ottenendo proprio quello che hai scritto tu.
Morale della favola: tutte le strade portano a Roma.
@Nicole93
Appositamente non ho scomposto interamente quel rapporto per farlo fare a lemming78.
Appositamente non ho scomposto interamente quel rapporto per farlo fare a lemming78.
sì, è vero, facendo il calcolo viene fuori sempre la stessa frazione (avevo confuso un meno con un più)
io però insegno ai miei studenti di effettuare sempre la divisione tra numeratore e denominatore nel caso in cui il grado del numeratore sia maggiore o uguale a quello del denominatore; in questo modo la frazione si spezza nella somma tra un polinomio intero ed una frazione "propria" , come accade con le frazioni numeriche, ed il calcolo dell'integrale diventa generalmente molto semplice
io però insegno ai miei studenti di effettuare sempre la divisione tra numeratore e denominatore nel caso in cui il grado del numeratore sia maggiore o uguale a quello del denominatore; in questo modo la frazione si spezza nella somma tra un polinomio intero ed una frazione "propria" , come accade con le frazioni numeriche, ed il calcolo dell'integrale diventa generalmente molto semplice
"Nicole93":Eh ma questa secondo me è una cosa che faresti meglio ad evitare. Tu in sostanza insegni ai tuoi studenti una "ricetta", un insieme di operazioni da effettuare in sequenza: e in genere lo studente è ben contento di apprendere una cosa del genere perché è questo tipo di conoscenza che gli verrà richiesto a scuola, purtroppo. Ma io sono convinto che la matematica vada affrontata scansando come la peste ogni automatismo, e che per insegnare questa forma mentis il tuo approccio sia deleterio. Faccio un esempio restando nell'ambito dell'integrazione, visto che ci siamo: chiedi ad un tuo studente di calcolare
io però insegno ai miei studenti di effettuare sempre [...]
[tex]\displaymath \int \frac{5x^4+4x^3+3x^2+2x+1}{x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}\, dx[/tex]
Vedrai quante bestemmie ti tirerà dietro, se inizia meccanicamente ad "effettuare la divisione tra numeratore e denominatore" come gli hai insegnato tu. Mentre invece basterebbe riflettere mezzo secondo per concludere.
scusa, ma non sono affatto d'accordo con quello che dici
anzi, io sono assolutamente contraria a dare le cosidette "ricette" ai miei alunni, e li faccio sempre ragionare su ogni cosa che fanno
quello che devono applicare nel caso specifico non è affatto un automatismo, ma una conoscenza fondamentale della matematica, e cioè: come si scompone una frazione? quando un polinomio fratto può essere scomposto? Come si effettua la divisione tra due polinomi? (conoscenza base di algebra, che in genere gli studenti non ricordano)
inoltre il tuo esempio è del tutto fuori luogo, perchè quando il numeratore ha grado minore del denominatore la frazione non può essere decomposta con la divisione
comunque, non darei mai ai miei studenti un esercizio del genere, proprio perchè lo ritengo inutilmente lungo e inadatto a verificare delle conoscenze ed abilità specifiche
anzi, io sono assolutamente contraria a dare le cosidette "ricette" ai miei alunni, e li faccio sempre ragionare su ogni cosa che fanno
quello che devono applicare nel caso specifico non è affatto un automatismo, ma una conoscenza fondamentale della matematica, e cioè: come si scompone una frazione? quando un polinomio fratto può essere scomposto? Come si effettua la divisione tra due polinomi? (conoscenza base di algebra, che in genere gli studenti non ricordano)
inoltre il tuo esempio è del tutto fuori luogo, perchè quando il numeratore ha grado minore del denominatore la frazione non può essere decomposta con la divisione
comunque, non darei mai ai miei studenti un esercizio del genere, proprio perchè lo ritengo inutilmente lungo e inadatto a verificare delle conoscenze ed abilità specifiche
quello postato da dissonance è un integrale immediato. A mio modo di vedere è un bel esercizio da proporre agli studenti: solo coloro che hanno veramente capito riescono a vedere rapidamente la soluzione; gli altri partirebbero meccanicamente senza pensare e ciò è deleterio, sempre secondo la mia opinione.
"Nicole93":Meno male. Questa è la cosa più importante. Purtroppo sono in molti a non fare così.
sono assolutamente contraria a dare le cosidette "ricette" ai miei alunni, e li faccio sempre ragionare su ogni cosa che fanno
Un'osservazione: l'esercizio che ho proposto è immediato se uno osserva che il numeratore è la derivata del denominatore. Questo esempio era particolarmente cretino ma ce ne sono di ingegnosi: integrali che all'apparenza fanno spavento ma che in realtà si possono risolvere a mente in pochi secondi. Ottimi esercizi (IMHO). Ne riporto tre dal libro di Bramanti Pagani Salsa Analisi matematica 1 (il libro dice: da calcolare a mente in non più di 15" !) :
$\int \frac{e^x+cos x}{e^x+sin x}"d"x$;
$\int \frac{2"d"x}{sqrt(x)-sqrt(x+2)}$;
$\int \frac{log(log(x))}{x}"d"x$.
Io non mi sono cronometrato ma di sicuro ho passato il tempo massimo in tutti e tre
.[edit] Scrivevo contemporaneamente a Ranius, che nel frattempo ha capito il trucco.
sì, guardandolo bene è semplice (però è un caso molto particolare, e per questo non avevo pensato al logaritmo)
comunque, non sempre gli esercizi sono così immediati, e quindi lo studente deve essere in grado di valutare bene ogni situazione e capire quali strategie sia più opportuno adottare per arrivare alla soluzione (e se ce n'è più di una , possibilmente cercare la via migliore) e questo può farlo solo se le conosce bene
comunque, non sempre gli esercizi sono così immediati, e quindi lo studente deve essere in grado di valutare bene ogni situazione e capire quali strategie sia più opportuno adottare per arrivare alla soluzione (e se ce n'è più di una , possibilmente cercare la via migliore) e questo può farlo solo se le conosce bene
Gli ultimi tre integrali postati sono una banalità, forse il terzo potrebbe dare un po' fastidio ma si risolve con il metodo denominato "per parti". Tutti e tre risolti in tre minuti.
"v.tondi":Forse non mi sono spiegato. Certo che sono una banalità, si tratta di esempi fatti apposta per sembrare difficili, in realtà sono risolubili a mente in pochi secondi.
Gli ultimi tre integrali postati sono una banalità, forse il terzo potrebbe dare un po' fastidio ma si risolve con il metodo denominato "per parti". Tutti e tre risolti in tre minuti.
Dai che ti sei spiegato.
scrivo il risultato del secondo dei tre integrali:
$log |e^x + sen x| + c $
spero sia corretto!
è vero, basta guardare con un pò d ' attenzione per risolverli più
rapidamente.
scrivo il risultato del secondo dei tre integrali:
$log |e^x + sen x| + c $
spero sia corretto!
è vero, basta guardare con un pò d ' attenzione per risolverli più
rapidamente.
@Salfor: mi sa che volevi dire "primo dei tre integrali"...
si , infatti! tra l'altro sto provando con il secondo integrale, ma non so qual è
l'astuzia che permette una soluzione rapida.
l'astuzia che permette una soluzione rapida.
Moltiplica e dividi per la somma delle radici...
Ragazzi dopo 3 anni vi dico grazie:) Mi dispiace l'ho rivisto ora il topic, alla specialistica dal liceo...
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