Integrale Indefinito

[ledrox]

Come di risolve questo limite (formalmente)


$int sqrt(e^(3x)-1) dx$

[Ale1521]

È facile.
Poni $e^x=t$, (viene $x=log(t)$, e quindi $dx=1/(|t|)dt$; ti ritrovi con:
$\int sqrt(t^3-1)*1/(|t|)dt$
$\int (t-1)^(1/2)(t^2-t+1)^(1/2)*1/(|t|)dt$
E poi a te il resto del divertimento

[gugo82]

Non sarebbe meglio sostituire $t=e^(3x)$?

[leena1]

..scusatemi ma che vuol dire formalmente? ..
Io comunque procederei senza sostituzioni..

$int sqrt(e^(3x)-1) dx=int (e^(3x)-1)^(1/2) dx=(1/3)int 3(e^(3x)-1)^(1/2)$

e questo è immediato, no?

[ledrox]

Scusate ma con la sostituzione l'integrale non si complica....??
Leena ho pensato anche io al tipo di risoluzione adottato da te...ma poi quale integrale immediato applico??
Grazie in anticipo per le eventuali risposte che mi saranno di aiuto

ps: per formale intendo utilizzando un formalismo matematico rigoroso poichè spesso mi arrivano risposte astratte (tipiche dei matematici) che non sono di aiuto ad una mente praticona come la mia..

[leena1]

Intendevo questo
$int f'(x)f(x)^ndx = (f(x)^(n+1))/(n+1)+c$

ma mi sono confusa, per poterlo applicare doveva essere..
$int 3e^(3x)(e^(3x)-1)^(1/2)dx$

ci manca l'esponenziale $e^(3x)$

Devi per forze procedere per sostituzione.
Scusa se ti ho potuto confondere ancora di più!

[gugo82]

"ledrox":Come di risolve questo integrale?

$int sqrt(e^(3x)-1) dx$

"Gugo82":Non sarebbe meglio sostituire $t=e^(3x)$?

Con la sostituzione indicata trovi:

$t=e^3x => x=1/3 ln t => "d"x=1/3 1/t "d"t$

cosicché:

$int sqrt(e^(3x)-1)" d"x=1/3 \int \sqrt(t-1)/t" d"t$

che è un integrale di una funzione razionale di $t$ e $sqrt(t-1)$ che si risolve con sostituzioni standard.


P.S.: A posteriori la sostituzione più adeguata sarebbe stata $t^2=e^(3x)-1$...