Integrale indefinito
Ho questo esercizio:
esibire l'integrale indefinito di $1/(x^2+x+3)$
Essendo il numeratore di grado minore rispetto al denominatore ho provato a vedere se
-il numeratore fosse la derivata del denominatore
- se il denominatore fosse un trinomio particolare
Ora non ho piu idee!!
esibire l'integrale indefinito di $1/(x^2+x+3)$
Essendo il numeratore di grado minore rispetto al denominatore ho provato a vedere se
-il numeratore fosse la derivata del denominatore
- se il denominatore fosse un trinomio particolare
Ora non ho piu idee!!
Risposte
Trova le soluzioni dell'equazione al denominatore.
Così scomponi l'integrale in
$A/(x-x_0) + B/(x-x_1)$
Fai il minimo comune denominatore, trovi i coefficienti A e B con un sistema e risolvi 2 integrali piu' semplici
Nel tuo caso il delta è < 0, dunque scomponi il trinomio in
$a*(x+k)^2 + m^2$ con $m = - D/4*a^2$ e $k = b/2*a$
Così diventa $1/m arctg((x+k)/2) + C$
Così scomponi l'integrale in
$A/(x-x_0) + B/(x-x_1)$
Fai il minimo comune denominatore, trovi i coefficienti A e B con un sistema e risolvi 2 integrali piu' semplici
Nel tuo caso il delta è < 0, dunque scomponi il trinomio in
$a*(x+k)^2 + m^2$ con $m = - D/4*a^2$ e $k = b/2*a$
Così diventa $1/m arctg((x+k)/2) + C$
Non è possibile risolvere l'equazione al denominatore!!
Il denominatore non è un trinomio particolare, ma può in ogni caso essere scritto in questa maniera:
$x^2+x+3=x^2+x+1/4+11/4$
Vedrai che i primi tre addendi formano un quadrato di un binomio, particolarmente
$(x+1/2)^2+11/4$.
Pertanto hai da integrare
$frac{1}{(x+1/2)^2+11/4}
raccogliendo 11/4
$frac{1}{11/4((x+1/2)/(sqrt(11)/2))^2+1}
Sai andare avanti sola ora?
Considera che quel malloppone al quadrato lo puoi porre uguale ad $y$ e hai da integrare
$4/11frac{1}{y^2+1}$ che ti porta ad un'arcotangente.
Ma attenta al differenziale $dx$, devi trovarti $dy$.
Se hai dubbi, chiedi.
Ciao!
$x^2+x+3=x^2+x+1/4+11/4$
Vedrai che i primi tre addendi formano un quadrato di un binomio, particolarmente
$(x+1/2)^2+11/4$.
Pertanto hai da integrare
$frac{1}{(x+1/2)^2+11/4}
raccogliendo 11/4
$frac{1}{11/4((x+1/2)/(sqrt(11)/2))^2+1}
Sai andare avanti sola ora?
Considera che quel malloppone al quadrato lo puoi porre uguale ad $y$ e hai da integrare
$4/11frac{1}{y^2+1}$ che ti porta ad un'arcotangente.
Ma attenta al differenziale $dx$, devi trovarti $dy$.
Se hai dubbi, chiedi.
Ciao!
Non capisco perche raccogli 11/4??
"Vincent":
Trova le soluzioni dell'equazione al denominatore.
Così scomponi l'integrale in
$A/(x-x_0) + B/(x-x_1)$
Nono aspetta, guarda che al denominatore hai un polinomio con due radici complesse e coniugate pertanto non vale tale scomposizione (valida per $Delta>0$); mi spiace ma non trovo sugli appunti la formula adatta.
Forse è questa risolvendo tu hai $alpha+-ibeta$ che scomporrai in $(x-alpha)^2+beta^2$ che al denominatore in genere porta all'integrale di un'arcotangente. Fammi sapere
"*Marty*":
Non capisco perche raccogli 11/4??
Se vuoi ottenere una forma del tipo $1/(("qualcosa")^2+1)$ per ottenere un'arcotangente, allora devi per forza raccogliere 11/4 per ottenre l'uno.
OK e mi ricavo l'arcotangente... ma per calcolare il $dy$ come faccio???
$dy$??quale $dy$? guarda che se hai $intf(x)dy$ la funzione si rivela una costante e il risultato è $f(x)*y^2/2+c$.
edit: scusa ho capito, se segui il mio ragionamento fai prima. Leggi su.
edit: scusa ho capito, se segui il mio ragionamento fai prima. Leggi su.
ripartiamo da quanto ti ha suggerito Steven:
$frac{1}{(x+1/2)^2+11/4}
fin qui tutto chiaro?
raccogliendo 11/4
$frac{1}{11/4(((x+1/2)/(sqrt(11)/2))^2+1)}
c'è una parentesi che andava chiusa alla fine. per il resto, 11/4 portato dentro la parentesi, dovendo essere elevato al quadrato, va portato sotto radice (quindi $sqrt(11)/2$)
è più chiaro ora?
provo ad andare avanti:
${4/11}/((2/sqrt(11)x+1/sqrt(11))^2+1)$
poiché la derivata dell'espressione tra parentesi è $2/sqrt(11)$, il $4/11$ al numeratore si scrive come $2/sqrt(11)*2/sqrt(11)$ ed una delle due frazioni uguali si porta fuori dal segno di integrale.
OK? riesci a concludere? ciao.
$frac{1}{(x+1/2)^2+11/4}
fin qui tutto chiaro?
raccogliendo 11/4
$frac{1}{11/4(((x+1/2)/(sqrt(11)/2))^2+1)}
c'è una parentesi che andava chiusa alla fine. per il resto, 11/4 portato dentro la parentesi, dovendo essere elevato al quadrato, va portato sotto radice (quindi $sqrt(11)/2$)
è più chiaro ora?
provo ad andare avanti:
${4/11}/((2/sqrt(11)x+1/sqrt(11))^2+1)$
poiché la derivata dell'espressione tra parentesi è $2/sqrt(11)$, il $4/11$ al numeratore si scrive come $2/sqrt(11)*2/sqrt(11)$ ed una delle due frazioni uguali si porta fuori dal segno di integrale.
OK? riesci a concludere? ciao.
Scusami ma sono i primi esercizi che faccio di questo tipo...
Comunque la derivata dell'espressione tra parentesi è $2/sqrt11$ se non elevi al quadrato altrimenti viene $4/11(x+1)$...
Quindi questo ultimo passaggio non mi torna!!
Comunque la derivata dell'espressione tra parentesi è $2/sqrt11$ se non elevi al quadrato altrimenti viene $4/11(x+1)$...
Quindi questo ultimo passaggio non mi torna!!
no.
$2/sqrt(11)*\int\(2/sqrt(11))/((2/sqrt(11)x+1/sqrt(11))^2+1)\dx$ è ricondotto alla forma $int\(f'(x))/(f(x)^2+1)\dx=arctgf(x)+C$, cioè al denominatore deve esserci $1$+il quadrato di una funzione, mentre al numeratore ci va la derivata solo della funzione (espressione tra parentesi). OK? ciao.
$2/sqrt(11)*\int\(2/sqrt(11))/((2/sqrt(11)x+1/sqrt(11))^2+1)\dx$ è ricondotto alla forma $int\(f'(x))/(f(x)^2+1)\dx=arctgf(x)+C$, cioè al denominatore deve esserci $1$+il quadrato di una funzione, mentre al numeratore ci va la derivata solo della funzione (espressione tra parentesi). OK? ciao.
Scusa un ultima cosa... Ma se ha scritto "esibire l'integrale indefinito" devo scrivergli $int\(f'(x))/(f(x)^2+1) dx=arctgf(x) +c$
o $2/sqrt11*\int\(2/sqrt11)/(((2/sqrt11x+1/sqrt11)^2)+1) dx$ ??
Grazie!
o $2/sqrt11*\int\(2/sqrt11)/(((2/sqrt11x+1/sqrt11)^2)+1) dx$ ??
Grazie!
non lo so che cosa intende:
una è la formula generale che usi, l'altro è l'integrale che devi ancora "scrivere": viene $2/sqrt(11)*arctg(2/sqrt(11)x+1/sqrt(11))+C$
credo si riferisca a quest'ultima forma. ma ti è chiaro come si passa da quello scritto nel messaggio precedente e questo che è la soluzione?
una è la formula generale che usi, l'altro è l'integrale che devi ancora "scrivere": viene $2/sqrt(11)*arctg(2/sqrt(11)x+1/sqrt(11))+C$
credo si riferisca a quest'ultima forma. ma ti è chiaro come si passa da quello scritto nel messaggio precedente e questo che è la soluzione?
si il passaggio alla soluzione mi torna!! Almeno qualcosa ogni tanto ci capisco!! Il problema è ke il prof di analisi è veramente pignolo!! Non lo passerò mai analisi!!
si il passaggio alla soluzione mi torna!! Almeno qualcosa ogni tanto ci capisco!! Il problema è ke il prof di analisi è veramente pignolo!! Non lo passerò mai analisi!!
Grazie per la pazienza!!
Grazie per la pazienza!!
prego!
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