Integrale indefinito

[dany80-votailprof]

Eccomi di nuovo qua si vede che lunedì ho esame vero? comunque mi sono imbattuto in questo bell'integrale

$int(cos^3x)/(1-sen^3x)dx$
come al solito penso di aver iniziato bene e mi sono perso strada facendo, ho iniziato così:
$int(cos^3x)/(1-sen^3x)dx=int(cosx*(1-sen^2x))/(1-sen^3) = intcosx/(1-sen^3x)+int(-cosxsen^2x)/(1-sen^3X)$
la seconda parte è immediata e vale $1/3 ln(1-sen^3x)$
il problema sta nella prima parte, infatti sostituendo $t=senx$ e $dx=1/(sqrt(1-t^2))*dt$ da cui:

$int sqrt(1-t^2)/(1-t^3)*1/(sqrt(1-t^2))dt=int1/(1-t^3)=int1/((1-t)*(t^2+t+1))$

che col metodo dei fratti semplici si riduce in :

$int(1/3)/(1-t)+int((1/3t+2/3)/(t^2+t+1)=ln(1-t)+1/3* int(t+2)/(t^2+t+1)=ln(1-t)+1/6* int(2t+4)/(t^2+t+1)=ln(1-t)+1/6* int(2t+1+3)/(t^2+t+1)$

e separando la frazione $ln(1-t) + 1/6ln (t^2+t+1) +int3/(t^2+t+1)$

e qui mi sono perso non riesco a togliere l'ultimo segno di integrale!!che tortura

[Lord K]

L'ultimo integrale è scrivibile come:

$int 3/(t^2+t+1)dt =3*int (dt)/((t+1/2)^2+3/4) =3*4/3*int (dt)/([sqrt(3)/2*(t+1/2)]^2+1) = 8/sqrt(3)*arctg[sqrt(3)/2*(t+1/2)] + c$

[dany80-votailprof]

ma come hai fatto ? io ci ho messo un ora per fare tutto....non ci sarei mai arrivato

[Lord K]

Sono metodi standard, ci vogliono solo un sacco di esercizi ^_^

[Albertus16]

"Lord K":L'ultimo integrale è scrivibile come:

$int 3/(t^2+t+1)dt =3*int (dt)/((t+1/2)^2+3/4) =3*4/3*int (dt)/([sqrt(3)/2*(t+1/2)]^2+1) = 8/sqrt(3)*arctg[sqrt(3)/2*(t+1/2)] + c$

Sapendo che il discriminante del polinomio al denominatore è minore di zero, puoi scomporre in questo modo il polinomio e ricondurlo ad una $arctg$.