Integrale indefinito

[LucaB12]

Ciao a tutti. Posso chiedervi una mano riguardo questo integrale che mi fa impazzire? Probabilmente è banale
Integrale di 1 / (x^2 + 1)^2 dx
Io ho provato dividendo in fratti semplici, ma non mi torna la soluzione che da il libro. Se qualcuno ha la buona volontà di darci un'occhiata... Grazie mille

[_Tipper]

Ponendo $\arctg(x) = t$, e osservando che $\frac{1}{1 + x^2} dx = dt$, l'integrale diventa

$\int \frac{1}{1 + \tan^2(t)} dt$

$\frac{1}{1 + \tan^2(t)} = \frac{\cos^2(t)}{\cos^2(t) + \sin^2(t)} = \cos^2(t)$

da cui

$\int \cos^2(t) dt = \int (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2t)) dt = \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sin(2t) + c$, $c \in \mathbb{R}$

Quindi la soluzione dell'integrale è

$\int \frac{1}{(1 + x^2)^2} dx = \frac{\arctg(x)}{2} + \frac{\sin(2 \arctg(x))}{4} + c$, $c \in \mathbb{R}$

Se vuoi puoi osservare che $\sin(x) = \frac{2 \tan(\frac{x}{2})}{1 + \tan^2(\frac{x}{2})}$ per riscrivere il risultato in una forma più bellina...

[LucaB12]

Ti ringrazio