Integrale indefinito

[Felice.]

$int (2cosxsinx)/(cos^2x+4cosx+7)$ ho usato la sostituzione $t=cos^2x$ e mi sono ricondotto ad un integrale del tipo $1/(t+4sqrt(t)+7)$ successivamente $1/((sqrt(t)+2)^2+3)$ da qui banalmente raccolgo il tre e lo porto dentro il quadrato come $sqrt(3)$ e mi riconduco ad un $tan^(-1)(...)$ cosa ho sbagliato? Il risultato secondo la prof è sbagliato

[Jamie58]

Ciao, provo a risponderti io anche se sono nuovo del forum
Dunque... il fatto è che all'interno dell'integrale:
[tex]\int{\frac{1}{(\sqrt{t}+2)^2+3}dt}[/tex]
hai $\sqrt{t}$ e non $t$. Quindi non puoi risolverlo direttamente come arcotangente; prima dovresti, ad esempio, sostituire $u = \sqrt{t}$ e poi proseguire.
Quindi:
[tex]\int{\frac{1}{(\sqrt{t}+2)^2+3}dt} = 2 \int{\frac{u}{(u+2)^2+3}du}[/tex]
eccetera.
Ovviamente spero che qualcuno più esperto di me in materia ti confermi quello che ho detto, ma penso che la risposta al tuo problema sia questa

[Felice.]

Ma no perchè la derivata dell'arcotangente è $1/(x^2+1)$ e avendo un unico addendo a denominatore al quadrato si ha l'arctan di quell'addendo

[dissonance]

Fai MOLTO prima a scrivere il risultato e calcolarne la derivata, usando un software se non ti va di fare calcoli. Se ritrovi la funzione integranda, è giusto. Altrimenti è sbagliato.

[pilloeffe]

Ciao Felix123321,

L'integrale proposto è il seguente:

$int (2cosxsinx)/(cos^2x+4cosx+7)\text{d}x $

Per risolverlo più rapidamente, prova a porre $t := cos x \implies \text{d}t = - sin x \text{d}x $...

[Jamie58]

"Felix123321":Ma no perchè la derivata dell'arcotangente è $1/(x^2+1)$ e avendo un unico addendo a denominatore al quadrato si ha l'arctan di quell'addendo

Uhm se ho capito bene tu intendi dire questo:
[tex]\int{\frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}}=arctan(f(x))+c[/tex]
ma come vedi funziona solamente se hai $f'(x)$ al numeratore!
Spero di essermi spiegato meglio