Integrale indefinito
Partendo dall'equazione differenziale lineare non omogenea del primo ordine
con condizioni $y(0)=0$ e $y'(0)=1$, arrivo a stabilire che $y'(x)=z=sqrt(1-e^(2(x+c)))$.
Per la seconda condizione $e^c=0$. Ora però non riesco a svolgere l'integrale
che mi servirebbe per trovare $y(x)$.
Devo sostituire $e^c=0$ e svolgere l'integrale? Ho un po' di difficoltà nel farlo
$ y''(x)+(y'(x))^2=1 $
con condizioni $y(0)=0$ e $y'(0)=1$, arrivo a stabilire che $y'(x)=z=sqrt(1-e^(2(x+c)))$.
Per la seconda condizione $e^c=0$. Ora però non riesco a svolgere l'integrale
$intsqrt(1-e^(2(x+c)))$
che mi servirebbe per trovare $y(x)$.
Devo sostituire $e^c=0$ e svolgere l'integrale? Ho un po' di difficoltà nel farlo
Risposte
\(e^c=0\)mi sa che qualcosa non va
equazione lineare...primo ordine... \(y''(x)+(y'(x))^2=\ldots\)
ancora peggio
intendevo dire secondo ordine. questo non risponde alla mia domanda però
Ci sono un sacco di cose che non vanno e le ho raccolte nel post precedente. Dai una occhiata più approfondita, non ti fermare al fatto del primo ordine che è il più innocuo.
In effetti $e^c$ non dovrebbe essere $0$ perché altrimenti $ln(0)$ divergerebbe ad infinito. Ciononostante ho ricontrollato i calcoli e mi sembra che fino a $z=sqrt(1-e^(2(x+c)))$ lo svolgimento sia corretto. Quindi per la condizione non mi rimane che fare $ 1=sqrt(1-e^0\cdote^c)->1=sqrt(1-e^c)->1=1-e^c->e^c=0 $
E lo so ma \(e^c=0\) non ammette soluzione, quindi da là non passi. Quella roba che hai trovato non può soddisfare il problema di Cauchy. Cerca un'altra soluzione, ce n'è una che si vede a occhio.
Ho capito va, scrivo tutti i calcoli. Impongo $y'(x)=z$:
da cui $ 1/(1-z^2)=1/((1+z)(1-z))=A/(1+z)+B/(1-z)-> { ( A=1/2 ),( B=1/2 ):} $.
Ne segue $ int1/(1-z^2)dz=int(1/2)/(1+z)dz+int(1/2)/(1-z)dz=1/2ln(1+z)+1/2ln(1-z)=1/2ln(1-z^2)=x+c $ da cui $1-z^2=e^(2(x+c))->z=sqrt(1-e^(2(x+c)))=y'(x)$. Onestamente non vedo altre strade per risolverla.
$ z'+z^2=1->int1/(1-z^2)dz=intdx $
da cui $ 1/(1-z^2)=1/((1+z)(1-z))=A/(1+z)+B/(1-z)-> { ( A=1/2 ),( B=1/2 ):} $.
Ne segue $ int1/(1-z^2)dz=int(1/2)/(1+z)dz+int(1/2)/(1-z)dz=1/2ln(1+z)+1/2ln(1-z)=1/2ln(1-z^2)=x+c $ da cui $1-z^2=e^(2(x+c))->z=sqrt(1-e^(2(x+c)))=y'(x)$. Onestamente non vedo altre strade per risolverla.
T'ho detto di andare a occhio... \(y(x)=x\) ti dice niente?
Nota che $\int\frac{1}{1-z^2}dz=\frac{1}{2}\ln(|1+z|)-\frac{1}{2}\ln(|1-z|)+c$. La derivata del tuo risultato, ossia di $\frac{1}{2}\ln(1-z^2)$, non coincide con l'integranda.
Il problema è che sbagli dall'inizio a risolvere l'equazione ausiliaria in $z(x)$.
Ti pare che in $0$ sia soddisfatta la condizione $1- z^2(x) != 0$?
Ti pare che in $0$ sia soddisfatta la condizione $1- z^2(x) != 0$?
Ciao mobley,
A me risulta
$y(x) = ln(c_1 + e^{2x}) + c_2 - x $
Imponendo le condizioni al contorno citate si trova che deve essere $c_1 = c_2 = 0 $ e quindi in definitiva la soluzione del problema proposto è $y(x) = x $ come ha già scritto dissonance.
A me risulta
$y(x) = ln(c_1 + e^{2x}) + c_2 - x $
Imponendo le condizioni al contorno citate si trova che deve essere $c_1 = c_2 = 0 $ e quindi in definitiva la soluzione del problema proposto è $y(x) = x $ come ha già scritto dissonance.
Grazie a tutti, per cominciare!
No. In ogni caso, anche se "ad occhio" non capisco come sei arrivato a quella conclusione, credo che risolvendo l'integrale che ho scritto sopra dovrei arrivare lo stesso alla soluzione.
Posso chiederti se anche tu sei arrivato al mio stesso integrale? Se no, in che modo hai ottenuto quel risultato?
"Mathita":Hai ragione, avevo sbagliato l'integrale. Ora, svolgendolo correttamente, arrivo ad ottenere $ y=int(e^(2(x+c))-1)/(e^(2(x+c))+1) $. Tuttavia, mi ritrovo nuovamente bloccato.
Nota che $ \int\frac{1}{1-z^2}dz=\frac{1}{2}\ln(|1+z|)-\frac{1}{2}\ln(|1-z|)+c $. La derivata del tuo risultato, ossia di $ \frac{1}{2}\ln(1-z^2) $, non coincide con l'integranda.
"dissonance":
T'ho detto di andare a occhio... \( y(x)=x \) ti dice niente?
No. In ogni caso, anche se "ad occhio" non capisco come sei arrivato a quella conclusione, credo che risolvendo l'integrale che ho scritto sopra dovrei arrivare lo stesso alla soluzione.
"pilloeffe":
Ciao mobley,
A me risulta
$ y(x) = ln(c_1 + e^{2x}) + c_2 - x $
Imponendo le condizioni al contorno citate si trova che deve essere $ c_1 = c_2 = 0 $ e quindi in definitiva la soluzione del problema proposto è $ y(x) = x $ come ha già scritto dissonance.
Posso chiederti se anche tu sei arrivato al mio stesso integrale? Se no, in che modo hai ottenuto quel risultato?
Io risolverei l'integrale $\int\frac{e^{2(x+c)}-1}{e^{2(x+c)}+1}dx$ per sostituzione, ponendo $t=e^{2(x+c)} \implies dt=2e^{2(x+c)}dx\implies \frac{1}{2t}dt=dx$. Sostituendo ottieni l'integrale di una funzione razionale fratta nella variabile $t,$$\int\frac{t-1}{2t(t+1)}dt$. Procedi per fratti semplici e infine ritorna nella variabile originaria.
Edit: dissonance è giunto a quella conclusione perché ha un occhio molto allenato, probabilmente ha notato che $y'(x)=1$ è soluzione dell'equazione, poi ha semplicemente integrato.
Edit: dissonance è giunto a quella conclusione perché ha un occhio molto allenato, probabilmente ha notato che $y'(x)=1$ è soluzione dell'equazione, poi ha semplicemente integrato.
No, ragazzi, non si tratta di allenamento, bensì di conoscenza della teoria e di come ritrovarla negli esercizi.
Stiamo considerando il P.d.C.:
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime}(x) + \big( y^\prime (x)\big)^2 = 1 \\
y(0) = 0 \\
y^\prime (0) = 1
\end{cases}
\]
che, posto in forma normale, soddisfa le condizioni del teorema di esistenza ed unicità locali; dunque, la soluzione del P.d.C. esiste ed è unica e va determinata in qualche modo.
Introducendo la variabile ausiliaria $z(x) := y^\prime (x)$ il P.d.C. in esame si riscrive come coppia di Pp.dd.Cc.:
\[
\begin{cases}
z^\prime (x) + z^2 (x) = 1 \\
z (0) = 1
\end{cases} \qquad \text{e} \qquad
\begin{cases}
y^\prime (x) = z(x) \\
y(0) = 0
\end{cases}
\]
da risolvere in sequenza. È immediato notare che entrambi i Pp.dd.Cc. hanno unica soluzione.
In particolare il primo ha la soluzione stazionaria (ossia costante) $z(x) = 1$, perché essa soddisfa sia la EDO sia la condizione iniziale.
Dunque, il secondo ha come unica soluzione $y(x) = int_0^x z(t) text( d) t = x$, la quale è anche l’unica soluzione del P.d.C. iniziale.
Stiamo considerando il P.d.C.:
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime}(x) + \big( y^\prime (x)\big)^2 = 1 \\
y(0) = 0 \\
y^\prime (0) = 1
\end{cases}
\]
che, posto in forma normale, soddisfa le condizioni del teorema di esistenza ed unicità locali; dunque, la soluzione del P.d.C. esiste ed è unica e va determinata in qualche modo.
Introducendo la variabile ausiliaria $z(x) := y^\prime (x)$ il P.d.C. in esame si riscrive come coppia di Pp.dd.Cc.:
\[
\begin{cases}
z^\prime (x) + z^2 (x) = 1 \\
z (0) = 1
\end{cases} \qquad \text{e} \qquad
\begin{cases}
y^\prime (x) = z(x) \\
y(0) = 0
\end{cases}
\]
da risolvere in sequenza. È immediato notare che entrambi i Pp.dd.Cc. hanno unica soluzione.
In particolare il primo ha la soluzione stazionaria (ossia costante) $z(x) = 1$, perché essa soddisfa sia la EDO sia la condizione iniziale.
Dunque, il secondo ha come unica soluzione $y(x) = int_0^x z(t) text( d) t = x$, la quale è anche l’unica soluzione del P.d.C. iniziale.
Gugo82, sono certo che dissonance conosca la teoria delle equazioni differenziali e che abbia effettivamente ragionato allo stesso modo (che $y=x$ o $y=-x$ siano soluzioni dell'ED è lampante). La conoscenza della teoria però non basta, uno studente che affronta per la prima volta questi argomenti non è sufficientemente spregiudicato da bypassare i calcoli, e la domanda che passa per la testa è "basta questa osservazione per prendere tutti i punti?"Sia chiaro, se mi arriva una risposta alla Gugo82, giustificata nei minimi dettagli, per me l'esercizio è svolto correttamente, se invece le giustificazioni latitano, beh qualche punticino lo tolgo perché non è chiaro il livello di consapevolezza dello studente.
Non sono Gugo, ma ho un minimo di esperienza di insegnamento anche io. Se mi arrivasse un compito con questo esercizio risolto in modo pulito, in due righe, per esempio così:
\(y(x)=x\) verifica la relazione \(y''+(y')^2=1\) e anche le condizioni iniziali \(y(0)=0, y'(0)=1\), quindi deve essere l'unica soluzione del problema di Cauchy assegnato.
Io a questa soluzione metterei tutti i punti senza problemi, anche se non ci sono conti. Infatti questa soluzione evidenzia che il concetto di "equazione differenziale" è stato compreso e che si conoscono le basi della teoria. Inoltre è corta e pulita, e sopratutto, non è una sofferenza da leggere.
Purtroppo, in genere gli studenti tendono a fare il contrario: scrivono il più possibile, forse memori di ricordi scolastici, e quindi uno si trova pacchi di compiti da decifrare, strapieni di giri inutili quando non proprio di grosse cavolate.
Qui, per esempio, nel mio primo post ho evidenziato alcune cose scritte da mobley che saltano subito all'occhio e che dimostrano delle difficoltà di comprensione a livello teorico, anche se mobley non ha colto il richiamo. Scrivere che quella equazione "è lineare", è un grosso errore. Scrivere \(e^c=0\), e non rendersi conto per riflesso condizionato che non ha senso, è un errore ancora più grosso.
\(y(x)=x\) verifica la relazione \(y''+(y')^2=1\) e anche le condizioni iniziali \(y(0)=0, y'(0)=1\), quindi deve essere l'unica soluzione del problema di Cauchy assegnato.
Io a questa soluzione metterei tutti i punti senza problemi, anche se non ci sono conti. Infatti questa soluzione evidenzia che il concetto di "equazione differenziale" è stato compreso e che si conoscono le basi della teoria. Inoltre è corta e pulita, e sopratutto, non è una sofferenza da leggere.
Purtroppo, in genere gli studenti tendono a fare il contrario: scrivono il più possibile, forse memori di ricordi scolastici, e quindi uno si trova pacchi di compiti da decifrare, strapieni di giri inutili quando non proprio di grosse cavolate.
Qui, per esempio, nel mio primo post ho evidenziato alcune cose scritte da mobley che saltano subito all'occhio e che dimostrano delle difficoltà di comprensione a livello teorico, anche se mobley non ha colto il richiamo. Scrivere che quella equazione "è lineare", è un grosso errore. Scrivere \(e^c=0\), e non rendersi conto per riflesso condizionato che non ha senso, è un errore ancora più grosso.
Nulla da ridire sui tuoi messaggi, dissonance. 
Ho letto sia molti dei tuoi post sia quelli di gugo82, e già dai primi avevo intuito la grande preparazione di entrambi.
Non era mia intenzione contestare nulla, tuttalpiù i miei interventi miravano ad aiutare l'utente nei calcoli, una volta compresi i gravi errori commessi. Il suo approccio, sebbene calcolotico e inutile, gli avrebbe permesso di raggiungere la soluzione (seppure in maniera "ingenua").
Ho letto sia molti dei tuoi post sia quelli di gugo82, e già dai primi avevo intuito la grande preparazione di entrambi. Non era mia intenzione contestare nulla, tuttalpiù i miei interventi miravano ad aiutare l'utente nei calcoli, una volta compresi i gravi errori commessi. Il suo approccio, sebbene calcolotico e inutile, gli avrebbe permesso di raggiungere la soluzione (seppure in maniera "ingenua").
"Mathita":
Il suo approccio, sebbene calcolotico e inutile, gli avrebbe permesso di raggiungere la soluzione (seppure in maniera "ingenua").
Ma certo, non vorrei essere frainteso, i calcoli bisogna farli e bisogna saperli fare. Possibilmente evitando di dividere per zero
"Mathita":
La conoscenza della teoria però non basta
No, infatti. Serve un certo grado di padronanza della teoria.
"Mathita":
uno studente che affronta per la prima volta questi argomenti non è sufficientemente spregiudicato da bypassare i calcoli
Certo, ma dovrebbe almeno aver capito il significato dei calcoli che fa.
E dovrebbe sapere, anche senza aver seguito il catechismo o l'ora di religione alle superiori, che dividere per zero è peccato mortale.
"Mathita":
[...] e la domanda che passa per la testa è "basta questa osservazione per prendere tutti i punti?"
Ai miei tempi la domanda era “come cavolo lo svolgo l’esercizio”?
Perché gli unici “punti” cui pensavo erano quelli di sutura in fronte dopo che il mio docente mi aveva tirato il libretto appresso se facevo una barca di contazzi inutili per risolvere un esercizio simile.
"Mathita":
Sia chiaro, se mi arriva una risposta alla Gugo82, giustificata nei minimi dettagli, per me l'esercizio è svolto correttamente, se invece le giustificazioni latitano, beh qualche punticino lo tolgo perché non è chiaro il livello di consapevolezza dello studente.
Il livello di consapevolezza lo testi facendo un paio di domande all’orale.
Pensa, la mia domanda era differente: "Visto che è una palla creare esercizi che non siano impossibili da risolvere, quale teorema/corollario/criterio/proprietà ha consentito all'insegnante di risparmiare più calcoli possibili nella redazione del problema?" Funzionava 8 volte su 10.
Ah, gli orali non sono obbligatori, ma questo lo sai meglio di me.
Ah, gli orali non sono obbligatori, ma questo lo sai meglio di me.
"mobley":
Posso chiederti [...] in che modo hai ottenuto quel risultato?
Certamente. Partendo dall'integrale al quale tu stesso sei pervenuto, non è difficile scoprire che si può scrivere:
$ \int\frac{e^{2(x+c)}-1}{e^{2(x+c)}+1} dx = \int\frac{e^{2x}-c_1}{e^{2x}+c_1} dx = \int\frac{2e^{2x} - e^{2x} - c_1}{e^{2x}+c_1} dx = $
$ = \int\frac{2e^{2x}}{e^{2x}+c_1} dx - \int dx = ln(e^{2x} + c_1) - x + c_2 $
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