Integrale indefinito
salve a tutti, vorrei capire se ho svolto l'esercizio in maniera corretta, non ne sono certo, si tratta di questo integrale
$\int (1/(x+(x^2+1)^(1/2)))dx$
Ho cominciando razionalizzando per far scomparire la radice al denominatore
$\int (1/(x+(x^2+1)^(1/2)))$ * $(x-(x^2+1)^(1/2))/(x-(x^2+1)^(1/2))$
ottenendo così : $\int ((x-(x^2+1)^(1/2))/(x^2+(x^2+1)))dx$
sommo i termini simili al denominatore e ottengo $\int ((x-(x^2+1)^(1/2))/-1)dx$ quindi $-\int (x-(x^2+1)^(1/2))dx$
spezzo in due integrali distinti $-\int (x)dx-\int (x^2+1)^(1/2)dx$
Ottenendo dal primo $-(x^2)/2$ da qui in poi non so come procedere, a primo impatto ho pensato a un orrore come spezzare la radice
ma forse è meglio lasciar perdere certi aborti matematici se non voglio ricevere insulti 
Grazie in anticipo
$\int (1/(x+(x^2+1)^(1/2)))dx$
Ho cominciando razionalizzando per far scomparire la radice al denominatore
$\int (1/(x+(x^2+1)^(1/2)))$ * $(x-(x^2+1)^(1/2))/(x-(x^2+1)^(1/2))$
ottenendo così : $\int ((x-(x^2+1)^(1/2))/(x^2+(x^2+1)))dx$
sommo i termini simili al denominatore e ottengo $\int ((x-(x^2+1)^(1/2))/-1)dx$ quindi $-\int (x-(x^2+1)^(1/2))dx$
spezzo in due integrali distinti $-\int (x)dx-\int (x^2+1)^(1/2)dx$
Ottenendo dal primo $-(x^2)/2$ da qui in poi non so come procedere, a primo impatto ho pensato a un orrore come spezzare la radice
ma forse è meglio lasciar perdere certi aborti matematici se non voglio ricevere insulti Grazie in anticipo
Risposte
Prova con una sostituzione, del tipo $x=cos(t)$, oppure per parti 
Qualcuno mi può dare una mano???
Hai provato la sostituzione suggerita? Ripensandoci forse è meglio con $x=tan(t)$. Quando hai $\sqrt(x^2\pma^2)$ è sempre utile fare sostituzioni con funzioni trigonometriche 
Ciao Wallace89,
$\int 1/(x+(x^2+1)^{1/2})dx = \int frac{1}{sqrt{x^2 + 1} + x} dx$
Moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt{x^2 + 1} - x$, si ottiene:
$\int 1/(x+(x^2+1)^{1/2})dx = \int frac{1}{sqrt{x^2 + 1} + x} dx = \int frac{sqrt{x^2 + 1} - x}{(sqrt{x^2 + 1} + x)(sqrt{x^2 + 1} - x)} dx =$
$= \int (sqrt{x^2 + 1} - x) dx = \int sqrt{x^2 + 1} dx - \int x dx = \int sqrt{x^2 + 1} dx - frac{x^2}{2} + c$
Resta dunque da risolvere $\int sqrt{x^2 + 1} dx$. Più in generale, risolveremo l'integrale seguente:
$\int sqrt{x^2 + c} dx$
ove $c \ne 0 $. Quest'ultimo integrale indefinito a sua volta fa parte della famiglia di integrali del tipo
$\int R (x, \sqrt{ax^2 + bx + c}) dx$
dove $a$, $b$ e $c$ sono costanti. Nel caso in esame $a = 1 > 0 $ e $ b = 0 \implies \Delta := b^2 - 4ac = - 4c < 0 $ se $c > 0$. In queste condizioni per risolvere l'integrale trasformandolo nell'integrale di una funzione razionale si pone $ \sqrt{a} x + t :=\sqrt{ax^2 + bx + c} $ cioè, nel nostro caso, $ x + t := \sqrt{x^2 + c}$; elevando al quadrato si ha $x^2 + 2tx + t^2 = x^2 + c \implies x = \frac{-t^2 + c}{2t} = -\frac{1}{2} t + \frac{c}{2} t^{-1} \implies dx = (-\frac{1}{2} - \frac{c}{2} t^{-2}) dt$. Ricordando la posizione effettuata ed il conseguente valore di $x$ determinato, si ha:
\begin{equation*}
\begin{split}
\int \sqrt{x^2 + c}\,dx & = \int \bigg(-\dfrac{1}{2}\,t + \dfrac{c}{2}\,t^{-1} + t\bigg)\bigg(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{c}{2}\,t^{-2}\bigg)\,dt =\\
& = \int \bigg(\dfrac{t}{2} + \dfrac{c}{2t} \bigg)\bigg(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{c}{2t^2} \bigg)\,dt =\\
& = - \int t \bigg(\dfrac{1}{2} + \dfrac{c}{2t^2} \bigg)\bigg(\dfrac{1}{2} + \dfrac{c}{2t^2} \bigg)\,dt =\\
& = - \int t \bigg(\dfrac{t^2 + c}{2t^2} \bigg)\bigg(\dfrac{t^2 + c}{2t^2} \bigg)\,dt =\\
& = - \int t \bigg(\dfrac{t^2 + c}{2t^2} \bigg)^2\,dt =\\
& = - \int t \bigg(\dfrac{t^4 + 2ct^2 + c^2}{4t^4} \bigg)\,dt =\\
& = - \int t \bigg(\dfrac{1}{4} + \dfrac{c}{2t^2} + \dfrac{c^2}{4t^4}\bigg)\,dt =\\
& = - \int \bigg(\dfrac{1}{4}\,t + \dfrac{c}{2t} + \dfrac{c^2}{4t^3}\bigg)\,dt =\\
& = - \dfrac{1}{4} \int \bigg(t + \dfrac{2c}{t} + \dfrac{c^2}{t^3}\bigg)\,dt =\\
& = - \dfrac{1}{4} \int t\,dt - \dfrac{c}{2} \int \dfrac{1}{t}\,dt - \dfrac{c^2}{4} \int t^{-3}\,dt =\\
& = - \dfrac{1}{8}\,t^2 - \dfrac{c}{2}\,\ln |t| + \dfrac{c^2}{8t^2} =\\
& = \dfrac{1}{2}\bigg(-\dfrac{t^2}{4} - c\,\ln |t| + \dfrac{c^2}{4t^2}\bigg) =\\
& = \dfrac{1}{2}\bigg(\dfrac{c^2 - t^4}{4t^2} - c\,\ln |t|\bigg) =\\
& = \dfrac{1}{2}\bigg(\dfrac{c - t^2}{2t} \cdot \dfrac{c + t^2}{2t} - c\,\ln |t|\bigg)
\end{split}
\end{equation*}
omettendo la costante di integrazione. A questo punto si ricordi che $x = \frac{c - t^2}{2t}$, che $2tx + t^2 = c $ e che $t = \sqrt{x^2 + c} - x$, per cui si ha:
\begin{equation*}
2tx + t^2 = c \implies 2tx + c + t^2 = 2c \implies c + t^2 = 2c - 2tx \implies \frac{c + t^2}{2t} = \frac{c}{t} - x
\end{equation*}
Andando a sostituire in quest'ultima equazione il valore di $t$ e razionalizzando, si ha:
\begin{equation*}
\frac{c + t^2}{2t} = \frac{c}{t} - x = \frac{c}{\sqrt{x^2 + c} - x} - x = \frac{c(\sqrt{x^2 + c} + x)}{c} - x = \sqrt{x^2 + c}
\end{equation*}
Dunque si ha:
\begin{equation*}
\int \sqrt{x^2 + c}\,dx = \frac{1}{2}(x \sqrt{x^2 + c} - c \ln |\sqrt{x^2 + c} - x|)
\end{equation*}
sempre omettendo la costante di integrazione arbitraria. Si può osservare che l'argomento del logaritmo è certamente positivo, per cui si può evitare il modulo; osservando inoltre che per le proprietà dei logaritmi si ha
\begin{equation*}
\ln (\sqrt{x^2 + c} - x) + \ln (\sqrt{x^2 + c} + x) = \ln [(\sqrt{x^2 + c} - x)\cdot (\sqrt{x^2 + c} + x)] = \ln c
\end{equation*}
e $\ln c$ è una costante, si può anche scrivere
\begin{equation*}
\int \sqrt{x^2 + c}\,dx = \frac{1}{2}[x \sqrt{x^2 + c} + c \ln (\sqrt{x^2 + c} + x)]
\end{equation*}
Tornando al nostro integrale originario, si nota che esso non è altro che quest'ultimo con $c = 1$, per cui si ha:
\begin{equation*}
\int \sqrt{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2}[x \sqrt{x^2 + 1} + \ln (\sqrt{x^2 + 1} + x)]
\end{equation*}
In definitiva si ha:
$\int 1/(x+(x^2+1)^{1/2})dx = \int frac{1}{sqrt{x^2 + 1} + x} dx = \frac{1}{2}[x \sqrt{x^2 + 1} + \ln (\sqrt{x^2 + 1} + x)] - frac{x^2}{2} + c$
$\int 1/(x+(x^2+1)^{1/2})dx = \int frac{1}{sqrt{x^2 + 1} + x} dx$
Moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt{x^2 + 1} - x$, si ottiene:
$\int 1/(x+(x^2+1)^{1/2})dx = \int frac{1}{sqrt{x^2 + 1} + x} dx = \int frac{sqrt{x^2 + 1} - x}{(sqrt{x^2 + 1} + x)(sqrt{x^2 + 1} - x)} dx =$
$= \int (sqrt{x^2 + 1} - x) dx = \int sqrt{x^2 + 1} dx - \int x dx = \int sqrt{x^2 + 1} dx - frac{x^2}{2} + c$
Resta dunque da risolvere $\int sqrt{x^2 + 1} dx$. Più in generale, risolveremo l'integrale seguente:
$\int sqrt{x^2 + c} dx$
ove $c \ne 0 $. Quest'ultimo integrale indefinito a sua volta fa parte della famiglia di integrali del tipo
$\int R (x, \sqrt{ax^2 + bx + c}) dx$
dove $a$, $b$ e $c$ sono costanti. Nel caso in esame $a = 1 > 0 $ e $ b = 0 \implies \Delta := b^2 - 4ac = - 4c < 0 $ se $c > 0$. In queste condizioni per risolvere l'integrale trasformandolo nell'integrale di una funzione razionale si pone $ \sqrt{a} x + t :=\sqrt{ax^2 + bx + c} $ cioè, nel nostro caso, $ x + t := \sqrt{x^2 + c}$; elevando al quadrato si ha $x^2 + 2tx + t^2 = x^2 + c \implies x = \frac{-t^2 + c}{2t} = -\frac{1}{2} t + \frac{c}{2} t^{-1} \implies dx = (-\frac{1}{2} - \frac{c}{2} t^{-2}) dt$. Ricordando la posizione effettuata ed il conseguente valore di $x$ determinato, si ha:
\begin{equation*}
\begin{split}
\int \sqrt{x^2 + c}\,dx & = \int \bigg(-\dfrac{1}{2}\,t + \dfrac{c}{2}\,t^{-1} + t\bigg)\bigg(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{c}{2}\,t^{-2}\bigg)\,dt =\\
& = \int \bigg(\dfrac{t}{2} + \dfrac{c}{2t} \bigg)\bigg(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{c}{2t^2} \bigg)\,dt =\\
& = - \int t \bigg(\dfrac{1}{2} + \dfrac{c}{2t^2} \bigg)\bigg(\dfrac{1}{2} + \dfrac{c}{2t^2} \bigg)\,dt =\\
& = - \int t \bigg(\dfrac{t^2 + c}{2t^2} \bigg)\bigg(\dfrac{t^2 + c}{2t^2} \bigg)\,dt =\\
& = - \int t \bigg(\dfrac{t^2 + c}{2t^2} \bigg)^2\,dt =\\
& = - \int t \bigg(\dfrac{t^4 + 2ct^2 + c^2}{4t^4} \bigg)\,dt =\\
& = - \int t \bigg(\dfrac{1}{4} + \dfrac{c}{2t^2} + \dfrac{c^2}{4t^4}\bigg)\,dt =\\
& = - \int \bigg(\dfrac{1}{4}\,t + \dfrac{c}{2t} + \dfrac{c^2}{4t^3}\bigg)\,dt =\\
& = - \dfrac{1}{4} \int \bigg(t + \dfrac{2c}{t} + \dfrac{c^2}{t^3}\bigg)\,dt =\\
& = - \dfrac{1}{4} \int t\,dt - \dfrac{c}{2} \int \dfrac{1}{t}\,dt - \dfrac{c^2}{4} \int t^{-3}\,dt =\\
& = - \dfrac{1}{8}\,t^2 - \dfrac{c}{2}\,\ln |t| + \dfrac{c^2}{8t^2} =\\
& = \dfrac{1}{2}\bigg(-\dfrac{t^2}{4} - c\,\ln |t| + \dfrac{c^2}{4t^2}\bigg) =\\
& = \dfrac{1}{2}\bigg(\dfrac{c^2 - t^4}{4t^2} - c\,\ln |t|\bigg) =\\
& = \dfrac{1}{2}\bigg(\dfrac{c - t^2}{2t} \cdot \dfrac{c + t^2}{2t} - c\,\ln |t|\bigg)
\end{split}
\end{equation*}
omettendo la costante di integrazione. A questo punto si ricordi che $x = \frac{c - t^2}{2t}$, che $2tx + t^2 = c $ e che $t = \sqrt{x^2 + c} - x$, per cui si ha:
\begin{equation*}
2tx + t^2 = c \implies 2tx + c + t^2 = 2c \implies c + t^2 = 2c - 2tx \implies \frac{c + t^2}{2t} = \frac{c}{t} - x
\end{equation*}
Andando a sostituire in quest'ultima equazione il valore di $t$ e razionalizzando, si ha:
\begin{equation*}
\frac{c + t^2}{2t} = \frac{c}{t} - x = \frac{c}{\sqrt{x^2 + c} - x} - x = \frac{c(\sqrt{x^2 + c} + x)}{c} - x = \sqrt{x^2 + c}
\end{equation*}
Dunque si ha:
\begin{equation*}
\int \sqrt{x^2 + c}\,dx = \frac{1}{2}(x \sqrt{x^2 + c} - c \ln |\sqrt{x^2 + c} - x|)
\end{equation*}
sempre omettendo la costante di integrazione arbitraria. Si può osservare che l'argomento del logaritmo è certamente positivo, per cui si può evitare il modulo; osservando inoltre che per le proprietà dei logaritmi si ha
\begin{equation*}
\ln (\sqrt{x^2 + c} - x) + \ln (\sqrt{x^2 + c} + x) = \ln [(\sqrt{x^2 + c} - x)\cdot (\sqrt{x^2 + c} + x)] = \ln c
\end{equation*}
e $\ln c$ è una costante, si può anche scrivere
\begin{equation*}
\int \sqrt{x^2 + c}\,dx = \frac{1}{2}[x \sqrt{x^2 + c} + c \ln (\sqrt{x^2 + c} + x)]
\end{equation*}
Tornando al nostro integrale originario, si nota che esso non è altro che quest'ultimo con $c = 1$, per cui si ha:
\begin{equation*}
\int \sqrt{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2}[x \sqrt{x^2 + 1} + \ln (\sqrt{x^2 + 1} + x)]
\end{equation*}
In definitiva si ha:
$\int 1/(x+(x^2+1)^{1/2})dx = \int frac{1}{sqrt{x^2 + 1} + x} dx = \frac{1}{2}[x \sqrt{x^2 + 1} + \ln (\sqrt{x^2 + 1} + x)] - frac{x^2}{2} + c$
caspita, esiste un metodo meno complicato per risolverlo?
Tutto è possibile... Potresti provare tirando in ballo $\sinh t$ e $\cosh t$, come ha fatto Ziben qui.
"Wallace89":
esiste un metodo meno complicato per risolverlo?
$intsqrt(x^2+1)dx$
per parti...al massimo in 5 passaggi, non di più
saluti
Grazie Mille ragazzi, siete grandi
Solo un'ultima cosa tommik, nel tuo procedimento per parti, puoi spiegarmi passo passo come hai derivato la radice? non mi è particolarmente chiaro
"tommik":
[quote="Wallace89"]esiste un metodo meno complicato per risolverlo?
$ intsqrt(x^2+1)dx $
per parti...al massimo in 5 passaggi, non di più
saluti[/quote]
"Wallace89":
Solo un'ultima cosa tommik, nel tuo procedimento per parti, puoi spiegarmi passo passo come hai derivato la radice? non mi è particolarmente chiaro
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