Integrale indefinito

[alfiere15]

Buon pomeriggio!
Come risolvereste il seguente integrale:
$int (arcsen(1-2t))/(sqrt(1-t)) dx$
Ho provato sia con sostituzione sia per parti, ma non arrivo mai a nulla...

[.Ruben.17]

Quel dx ha un senso o è un errore di scrittura?
Dovrebbe essere dt, se integri in t

[Iris941]

Sostituisci
$u=sqrt(1-t) $
e
$du= - 1/(2(sqrt(1-t))) dt$
Quindi ritornando a noi:
$=-2int arcsin (1-2(1-u^2))du $
Integrando per parti
$f = arcsin (1-2 (1-u^2)), dg = du,$
$df = (2 u)/sqrt(u^2-u^4)du, g = u$
quindi
$ = -2 u arcsin(1-2 (1-u^2))+2 int (2 u^2)/sqrt(u^2-u^4) du =$
sostituisci
$s = u^2, ds = 2 u du$
e si ha
$ = -2 u arcsin(1-2 (1-u^2))+2 int 1/sqrt(1-s) ds = $
Sostuisci
$ p = 1-s, dp = - ds$
Quindi
$= -2 u arcsin (1-2 (1-u^2))-2 int 1/sqrt(p) dp$
Andando avanti
$= -4 sqrt(p)-2 u arcsin(1-2 (1-u^2))+c$
Ricordando che
$ p = 1-s$
Si ha
$ = 2 u arcsin(1-2 u^2)-4 sqrt(1-s)+c$
Ricordando anche che
$ s = u^2$
Abbiamo
$= 2 u arcsin(1-2 u^2)-4 sqrt(1-u^2)+c$
E
$ u = sqrt(1-t)$
E infine
$= -4 sqrt(t)-2 sqrt(1-t) arcsin(1-2 t)+c$

Dovrebbe essere tutto

[.Ruben.17]

[tex]\int \frac{arcsen(1-2t)}{\sqrt{1-t}}dt[/tex]

Sostituisco
$1-2t = sen x$
$t = (1-sen x)/2$
$dt = -1/2 cos x dx$

[tex]\int \frac{arcsen(sen(x))}{\sqrt{1-\frac{1-sen(x))}{2}}}(-\frac{1}{2}cos(x))dx[/tex]

[tex]\int \frac{x}{\sqrt{\frac{1+sen(x)}{2}}}(-\frac{1}{2}cos(x))dx[/tex]

Sostituisco $x = \pi / 2 - v $
$dx = -dv$

[tex]\int \frac{\frac{\pi}{2}-v}{\sqrt{\frac{1+cos(v)}{2}}}(\frac{1}{2}sen(v))dv[/tex]

[tex]\int \frac{\frac{\pi}{2}-v}{cos(\frac{v}{2})}(\frac{1}{2}2sen(\frac{v}{2})cos(\frac{v}{2}))dv[/tex]

[tex]\int (\frac{\pi}{2}-v)sen(\frac{v}{2})dv[/tex]

[tex]\int \frac{\pi}{2}sen(\frac{v}{2})dv - \int v ~ sen(\frac{v}{2})dv[/tex]

[tex]\int \frac{\pi}{2}sen(\frac{v}{2})dv - \int v ~ sen(\frac{v}{2})dv = - \pi cos(\frac{v}{2})-4sen(\frac{v}{2})+2v~cos(\frac{v}{2})[/tex]


con $v = \pi / 2 - x = \pi / 2 - arcsen(1-2t)$

Nell'ultimo passaggio ho agito per parti

[anto_zoolander]

ma perché tutte queste sostituzioni?

$F(t)=intarcsin(1-2t)/sqrt(1-t)dt$

il dominio

1) $-1<1-2t<1=>0
2) $1-t>0=> t<1$

dunque il dominio è $0

applico solo la seguente sostituzione:

$x=sqrt(1-t)$ con $t<1$ e $t=1-x^2$

sostituisco il differenziale .. $dx=-1/(2sqrt(1-t))dt$

$-2intarcsin(1-2(1-x^2))dx=>-2intarcsin(2x^2-1)dx$

ora questo passaggio lo faccio come @Iris e integro per parti

$-2xarcsin(2x^2-1)+2intx*(4x)/sqrt(1-(2x^2-1)^2)dx$

$-2xarcsin(2x^2-1)+4intx^2/sqrt(x^2-x^4)dx$

ora quì spunta un integrale immediato... in particolare ragiono così: nota che $xne0$
raccolgo nella radice il termine $x^2$ e lo esco come $|x|$

$-2xarcsin(2x^2-1)+4intx/|x|*x/sqrt(1-x^2)dx$

tre cose:

1)sistemo una costante.. in particolare mi serve $-2$


2)$|x|=x$ dunque $x/|x|=1$ poiché abbiamo detto che è $x>0$

3)$(-2x)/sqrt(1-x^2)=(-2x)(1-x^2)^(-1/2)$

$-2xarcsin(2x^2-1)-2int(-2x)(1-x^2)^(-1/2)dx$

come puoi vedere quello è un integrale immediato..

$-2xarcsin(2x^2-1)-2(1-x^2)^(1/2)/(1/2)+c$

ora torniamo nella nostra variabile originale, notando che la funzione
$x=sqrt(1-t)$ l'abbiamo presa invertibile

$F(t)=-2sqrt(1-t)arcsin(1-2t)-4sqrtt+c$

che è definita su tutto $0

nel caso in cui fosse corretta la scrittura $intarcsin(1-2t)/sqrt(1-t)dx$
l'integrale si ridurrebbe a:

$arcsin(1-2t)/sqrt(1-t)int1dx=(arcsin(1-2t)/sqrt(1-t))x+c$

Nota: l'integrale ottenuto integrando per parti, è un caso particolare di quello che ha proposto un utente qualche giorno fa. Precisamente quì

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