Integrale indefinito

[zerbo1000]

raga un aiutino con questo integrale indefinito

thanks

$ int_() 1/(x^2-1)^2 dx $

[Lo_zio_Tom]

Si può scomporre

[zerbo1000]

$int 1/(x^2-1)^2=int 1/((x+1)(x-1)(x+1)(x-1))=int A/(x+1)^2 +B/(x-1)^2=intA/(x^2+1+2x)+B/(x^2+1-2x)=int (Ax^2+A-2Ax+Bx^2+B+2Bx)/(x^2-1)^2$
$ { ( A+B=0 ),( -2A+2B=0 ),( A+B=1 ):} $
sistema che non ha senso....non credo sia questo il metodo... ho provato a parlo risolvere a mathematica

mi da questo suggerimento,

$int 1/(x^2-1)^2=int1/(4(x+1))+1/(4(x+1)^2)-1/(4(x-1))+1/(4(x-1)^2)$

ma non capisco come ci sia arrivato.

Thanks!!!

(perdonate la mancanza del $"dx"$;-))

[axpgn]

Conosci la scomposizione in fratti semplici? Non è quella che hai fatto tu ...

[zerbo1000]

non capisco, ho cercato in giro, ed è esattamente quella che ho fatto io, la decomposizione in fratti semplici.

[Lo_zio_Tom]

cià...ti faccio vedere una scorciatoia

[zerbo1000]

grazie, attendo

[Lo_zio_Tom]

poniamo

$t=(x-1)/(x+1) rarr x=(t+1)/(1-t) rarr dx=(2dt)/(1-t)^2$

$(x^2-1)^2=...=(16t^2)/(1-t)^4$

[zerbo1000]

grazie, non è banale però eh, intendo come intuizione , grazie tommik!!

[zerbo1000]

rimango comunque curioso di capire cosa intendeva axpgn

[Lo_zio_Tom]

per cui il tuo integrale ti diventa:

$int1/((16t^2)/(1-t)^4)\cdot2/(1-t)^2dt=...=1/8int(1-t)^2/t^2dt=1/8int1/t^2dt-1/8int(2t)/t^2dt+1/8intdt$

da qui sono tutti integrali immediati



....stamattina non ero a casa....e non potevo pensarci né scrivere...


(con i fratti semplici effettivamente è piuttosto articolato...anche se deve uscire ugualmente)

[zerbo1000]

ok, se il problema fosse solo che è articolato con il tempo l'avrei fatto, ma coma avrai visto, col metodo che ho provato(che se non sbaglio è quello dei fratti semplici(anche se alex ha fatto un affermazione a riguardo che devo ancora capire)) come (forse) hai visto, il sistema è impossibile...

[Lo_zio_Tom]

"zerbo1000":ok, se il problema fosse solo che è articolato con il tempo l'avrei fatto, ma coma avrai visto, col metodo che ho provato(che se non sbaglio è quello dei fratti semplici(anche se alex ha fatto un affermazione a riguardo che devo ancora capire)) come (forse) hai visto, il sistema è impossibile...

non ti usciva perché hai sbagliato la scomposizione in fratti semplici...non si fa così

[Lo_zio_Tom]

andava scomposto così:

$1/(x^2-1)^2=A/(x+1)+B/(x-1)+C/(x+1)^2+D/(x-1)^2$



questa è la scomposizione in fratti semplici

[zerbo1000]

intendete che avrei dovuto scomporre cosi:

$int A/(x+1)+B/(x-1)+C/(x+1)+D/(x-1)$?

[axpgn]

La normalità ...

Quando si decompone in fratti semplici il denominatore deve essere scomposto in binomi di primo e/o secondo grado (presupposto che il numeratore sia di grado inferiore al denominatore).
Nel tuo caso hai solamente binomi di primo grado però con esponente maggiore di $1$; in tal caso il binomio va "preso" tante volte quanto l'esponente.

Esempio:

$4/(x-1)^2=A/(x-1)+B/(x-1)^2$

Cordialmente, Alex

[Lo_zio_Tom]

"zerbo1000":intendete che avrei dovuto scomporre cosi:

$int A/(x+1)+B/(x-1)+C/(x+1)+D/(x-1)$?

no...due denominatori vanno al quadrato....stavo ancora scrivendo....ho la connessione debole

[zerbo1000]

grazie a tutti ragazzi, la profe ci ha fatto vedere quel caso solo nella forma:
$int1/(x-a)^n=int((x-a)^(-n+1))/(-n+1)$

che però con $x^2$ non funziona

cheers!

[zerbo1000]

"axpgn":La normalità ...

Quando si decompone in fratti semplici il denominatore deve essere scomposto in binomi di primo e/o secondo grado (presupposto che il numeratore sia di grado inferiore al denominatore).
Nel tuo caso hai solamente binomi di primo grado però con esponente maggiore di $1$; in tal caso il binomio va "preso" tante volte quanto l'esponente.

Esempio:

$4/(x-1)^2=A/(x-1)+B/(x-1)^2$

Cordialmente, Alex

però:$4/(x-1)^2=A/(x-1)+B/(x-1)^2=A/(x-1)+B/(x^2+1-2x)=(A(x^2+1-2x)+B(x-1))/(x-1)^2=(Ax^2+A-2Ax+Bx-B)/(x-1)^2$ $ { ( A=0 ),( A-B=4 ),( -2A+B=0 ):} $

mi sembra che il sistema abbia qualche problemo lo stesso

[Lo_zio_Tom]

"zerbo1000":

mi sembra che il sistema abbia qualche problemo lo stesso

eh ....ha problemi sì.....soprattutto se sbagli a far le moltiplicazioni

[zerbo1000]

ah già, devo abituarmi al nuovo metodo, cambia anche il modo di impostare il sistema