Integrale indefinito

[Ian2]

Devo risolvere questo integrale:

$ int (x+2)/(x^2+x+1)dx $

Osservo che: $ (x+2)/(x^2+x+1)=1/2*(2x+1)/(x^2+x+1)+1/2*3/(x^2+x+1) $, da cui integrando ottengo:

$ int (x+2)/(x^2+x+1)dx=1/2log(x^2+x+1)+3/2* int (dx)/(x^2+x+1)dx $

Ora cerco di scomporre $ x^2+x+1 $.

$ Delta=-3 $. Quindi $ x=(-1+-omega)/2 $, dove $ omega $ è una radice complessa di -3.

Svolgendo i calcoli mi ritrovo: $ x=(-1+-(sqrt(3)i))/2 $

A questo punto come posso procedere per la scomposizione?

Grazie mille

[sapo931]

ciao,

quando al denominatore hai un polinomio di secondo grado con determinante minore di zero, si procede in generale nel seguente modo:

scrivi

$x^2 + bx + c = (c - b^{2}/4)*((x+b/2)^{2}/(c-b^{2}/4) + 1 )$

e siccome

$(x+b/2)^{2}/(c-b^{2}/4) = ((x+b/2)/sqrt(c-b^{2}/4))^{2} $

sostituendo per semplicità di scrittura

$ T = sqrt(c-b^{2}/4)$

hai

$x^2 + bx + c = T^{2}*(((x+b/2)/T)^{2} + 1 )$

e ottieni quindi l'Integrale

$int 1/(x^2 + x +1 ) dx = 1/ T^{2}int 1/(((x+b/2)/T)^{2} + 1 )dx $

che risolvi agevolmente ricordando che

$ int (f'(x))/((f(x)/a)^2+1)dx = (1/a)arctg(f(x)/a) + c$

[Ian2]

Grazie mille! Però c'è un problema.

Se $ T=sqrt(3)/2 $ e $ T^2=3/4. $

Allora $ 3/2 *1/ T^{2}int 1/(((x+b/2)/T)^{2} + 1 )dx = 3/2*4/3*2/sqrt(3) arctan((2x+1)/sqrt(3)) $

che però non corrisponde a $ sqrt(3) arctan((2x+1)/sqrt(3)) $ come scritto nel risultato.