Integrale indefinito

[simox2]

Ciao a tutti,

Oggi mi sono proposto di risolvere questa integrale:

\(\displaystyle
\int {x \over x^2 + 2x + 2}\,\text{d}x
\)

Purtroppo però non riesco a fare nessuna sostituzione che considero utile in modo da eliminare la \(\displaystyle x \) al numeratore..



Riesco a scomporre il denominatore cosi:

\(\displaystyle
\begin{aligned}
x^2 + 2x + 2 = x(x+2) + 2 = (x + 1)^2 + 1
\end{aligned}
\)

Ma non riesco a concretizzare... Non vedo la soluzione..
Qualcuno mi può aiutare a capire come ed imparare a poter risolvere un' integrale di questo tipo ?

Ringrazio in anticipo.

[stormy1]

puoi cominciare a scrivere l'integrale come

$1/2int(2x+2-2)/(x^2+2x+2)dx=1/2int(2x+2)/(x^2+2x+2)dx-int(dx)/(x^2+2x+2)$
posto nel secondo il denominatore uguale a $(x+1)^2+1$,hai 2 integrali immediati

[simox2]

Ciao stormy, prima di tutto grazie.

A partire dal tuo suggerimento, procedo cosi:

\(\displaystyle
\begin{aligned}
&{1\over 2}\int {2(x+1) - 2 \over x^2+2x+2}\,\text{d}x = {1\over 2}\left (\int{2x+2 \over x^2+2x+2} \,\text{d}x -\int {2 \over x^2+2x+2}\,\text{d}x \right ) = {1\over 2}( F_1(x) - F_2(x))\\
& \\
& F_1(x):\\
& u = x^2+2x+2\\
& {\text{d}u \over 2x+2} = \text{d}x \\
& {1\over 2}\int u \,\text{d}u = {1\over 2}\ln(u) + c = {1\over 2}\ln(x^2+2x+2) + c\\
& \\
& F_2(x):\\
& -{1\over 2}\int {2 \over (x+1)^2+1}\,\text{d}x = -\arctan(x+1) + c
\end{aligned}
\)

Il mio problema è proprio 'implementare questi barbatrucchii'..
Mi devo allenare di più.

Hai mica qualche esercizio da propormi, anche in PDF, sui cui potermi fare le ossa ?

[21zuclo]

Tieniti in mente questa formula

$ \int (1)/(1+((ax+b)/(c))^2)dx=c/a \arctan((ax+b)/(c))+C $