Integrale Indefinito

[Fr4nc1x]

Salve ho risolto un integrale indefinito e volevo avere un confronto con voi.
L'integrale è questo $ int_()^() 1/((x-6)sqrt(x+2)) dx $
Io ho usato il metodo di sostituzione sostituendo $t=sqrt(x+2)$ quindi $x=t^2-2 $ e quindi $dx=2t dt$

L'integrale quindi viene $ int_()^()1/(t^2+4) dx $ che viene $2arctg(t) + c$
e quindi sostituendo viene $ 2 arctg(sqrt(x+2)) +c $

[stormy1]

con la sostituzione da te fatta,l'integrando è $2/(t^2-8)$

comunque,tra l'altro,$2arctg t$ non è una primitiva di $1/(t^2+4)$

[simox2]

"Fr4nc1x":L'integrale quindi viene $ int_()^()1/(t^2+4) \text{d}x $ che viene $ 2arctg(t) + c $

Questa non mi sembra che abbia molto senso.

La [size=120]\(\displaystyle x \)[/size] non compare nell'integrale quindi di per sé non è espressa correttamente. Quando fai la sostituzione devi esprimere l'integrale 'nuova' in funzione della nuova variabile.
Detto meglio devi riesprimere la integrale nuova con la variabile di sostituzione.

Secondo quello che hai postato tu l'integrale viene:

[size=120]\(\displaystyle \int {1 \over t^2 + 4} \,\text{d}x = {x \over t^2 + 4} + c \)[/size]

Il modo con cui applichi la sostituzione secondo me è sbagliato.. Anzi, lo è.
Chiamo [size=130]\(\displaystyle u = t \)[/size]

Quindi:

[size=120]
\(\displaystyle \begin{aligned}
& u = \sqrt{x + 2} \\
& u^2 = x + 2 \Rightarrow u^2 -2 = x \\
& { \text{d}u \over \text{d}x} = {1 \over 2 }(x + 2)^{- {1 \over 2}} = {1 \over 2\sqrt{x + 2}} = {1 \over 2u} \\
& {\text{d}u \over {1 \over 2u}} = \text{d}x \Rightarrow 2u\,\text{d}u = \text{d}x\\
& (x-6)\sqrt{x+2} \Rightarrow (u^2-2-6)u = (u^2-8)u\\
& \int {1 \over (x-6)\sqrt{x+2}}\,\text{d}x \Rightarrow \int {2 \over (u^2-8)}\,\text{d}u
\end{aligned} \)
[/size]

Ciao!

[minomic]

"stormy":con la sostituzione da te fatta,l'integrando è $2/(t^2-8)$

Esatto, e a questo punto probabilmente ti conviene la scomposizione in fratti semplici:
\[
\frac{A}{t+\sqrt{8}}+\frac{B}{t-\sqrt{8}}
\] Il risultato non viene "bello" ma mi sembra corretto.

[Fr4nc1x]

Ok ragazzi ora vi spiego perchè compare $ arctg $
Innanzitutto ho sbagliato a scrivere l'integrale di partenza, infatti l'integrale è $ int_()^() 1/((x+6)(sqrt(x+2))) dx $
Ho eseguito la sostituzione
$ t= sqrt(x+2) $
$ t^2-2=x $
$ dx= 2t dt $ e quindi l'integrale viene :
$ int_()^() 1/((t^2+4)t) 2t dt $
$2 int_()^() 1/(t^2+4) dt $
A questo punto ho al denominatore una disequazione di secondo grado con $ Delta<0$ e allora applico la seguente formula
$ sqrt(((-Delta)/(4a^2))) (1/a) ((4a^2)/(-Delta)) arctg(sqrt((4a^2)/-Delta)(x+(b/(2a)))) $
Applicando questa formula risulta
$ arctg(x/2)+c $