Integrale indefinito

[Tatasala]

Salve, riporto lo svolgimento di un esercizio sul quale ho un dubbio:

Calcolare: $\int x*sqrt(x^2+3) dx$

Svolgimento passaggi:

$\int (x^2+3)^(1/2)*x dx$ =

$\1/2 int (x^2+3)^(1/2)*2x dx$ =

a questo punto non capisco da dove salta fuori il valore $1/2$ posto al di fuori dell'integrale, chi mi aiuta?
Grazie in anticipo.

[Gi81]

Fuori dall'integrale c'è $1/2$, ma dentro compare un $2$ che bilancia il tutto.

In pratica, dentro l'integrale si è moltiplicato per $1/2 *2$, cioè per $1$ (quindi non cambia nulla).
Poi si è portato fuori $1/2$ (si può fare perchè è una costante moltiplicativa)

[Tatasala]

Gi8 grazie per la risposta; quindi anche in quest'altro caso:

$\int (senx)/root(3)(2+3cosx)dx$ =
= $\-1/3 int (2+3cosx)^-(1/3) * (-3*senx) dx$

dentro l'integrale si è moltiplicato per : $-1/3*(-3)$ per bilanciare il tutto.

[Gi81]

Esatto

[21zuclo]

"Tatasala":Salve, riporto lo svolgimento di un esercizio sul quale ho un dubbio:

Calcolare: $\int x*sqrt(x^2+3) dx$

io farei più velocemente così $x^2+3=t \to 2x dx=dt\to dx=(dt)/(2x)$

in pratica ho optato per sostituzione e ti viene

$\int x*sqrt(x^2+3) dx=\int x*sqrt(t) (dt)/(2x)\to 1/2 \int t^(1/2)dt= 1/2 (t^(3/2))/(3/2)=1/3 t^(3/2)=1/3 (x^2+3)^(3/2)+C$

[Tatasala]

21zuclo ti ringrazio per la risposta.
Ho un altro dubbio su di un altro esercizio:

Calcolare: $\int 1/(1+3x^2) dx$ =

utilizzando il metodo della sostituzione la funzione $3x^2$ come mai viene scritta nella forma: $sqrt(3)*x$ ?

[21zuclo]

"Tatasala":21zuclo ti ringrazio per la risposta.
Ho un altro dubbio su di un altro esercizio:

Calcolare: $\int 1/(1+3x^2) dx$ =

utilizzando il metodo della sostituzione la funzione $3x^2$ come mai viene scritta nella forma: $sqrt(3)*x$ ?

semai è $(\sqrt(3)x)^2$

così ti viene $\int(1)/(1+(\sqrt(3)x)^2)dx=.....$

se ricordi l'integrale noto $\int(1)/(1+x^2)dx=\arctan(x)+C$

e poi anche la formula generale $\int(dx)/(1+((ax+b)/(c))^2)=c/a\arctan((ax+b)/(c))+C$

[Tatasala]

ecco perchè non mi ritrovavo, grazie ancora!!