Integrale in tre variabili
salve, ho un problema con un esercizio di esame. ho risolto più volte l'esercizio ma continuo a ricavare lo stesso risultato che ovviamente è diverso dal risultato dato dal professore. vorrei capire dove sbaglio dato che posso ritrovarmelo ancora.
$ 2x^2+2y^2+5z^2<= 30,-4x^2+2y^2+5z^2<=2 $
$ x=h,y=rho /sqrt(2)cosvarphi ,z=rho /sqrt(5)sinvarphi $ $ rArr $ $ 2h^2+rho ^2<= 30, rho^2-4h^2<=2 $
$ detJ(h,rho,varphi )=rho/sqrt(10) $
$ (4pi)/sqrt(10) (int_(sqrt(14/3))^(sqrt(15))int_(0)^(sqrt(30-2h^2))rho drho dh +int_(0)^(sqrt(14/3))int_(0)^(sqrt(2+4h^2))rho drho dh)=
(4pi)/sqrt(10)(10sqrt(15)-112/3sqrt(14/3)) $
risultati possibili: ($ 80/3pi-12/5sqrt30pi $) ; ($ 40/3pi-6/5sqrt30pi $) ; ($ 40sqrt2/3pi-12/5sqrt15pi $) ; ($ 80sqrt2/3pi-24/5sqrt15pi $).
aiutatemi, grazie
$ 2x^2+2y^2+5z^2<= 30,-4x^2+2y^2+5z^2<=2 $
$ x=h,y=rho /sqrt(2)cosvarphi ,z=rho /sqrt(5)sinvarphi $ $ rArr $ $ 2h^2+rho ^2<= 30, rho^2-4h^2<=2 $
$ detJ(h,rho,varphi )=rho/sqrt(10) $
$ (4pi)/sqrt(10) (int_(sqrt(14/3))^(sqrt(15))int_(0)^(sqrt(30-2h^2))rho drho dh +int_(0)^(sqrt(14/3))int_(0)^(sqrt(2+4h^2))rho drho dh)=
(4pi)/sqrt(10)(10sqrt(15)-112/3sqrt(14/3)) $
risultati possibili: ($ 80/3pi-12/5sqrt30pi $) ; ($ 40/3pi-6/5sqrt30pi $) ; ($ 40sqrt2/3pi-12/5sqrt15pi $) ; ($ 80sqrt2/3pi-24/5sqrt15pi $).
aiutatemi, grazie
Risposte
Sì, vabbé, ma qual è la traccia dell'esercizio?
"gugo82":
Sì, vabbé, ma qual è la traccia dell'esercizio?
scusami, trovare il volume del compatto A= $ {(x,y,z) $ ∈R^3 $ :2x^2+2y^2+5z^2<=30,-4x^2+2y^2+5z^2<=2} $.
spero tu possa aiutarmi. grazie
Osserva che \(A\) è simmetrico rispetto ai piani coordinati, dunque detta \(A^+\) l'intersezione di \(A\) col primo ottante (cioé quello definito dalle limitazioni \(x,y,z\geq 0\)), hai:
\[
\operatorname{vol} (A) = 8\ \operatorname{vol} (A^+)\; ,
\]
con \(A^+\), precisamente, definito al modo che segue:
\[
\tag{1}
A^+ := \left\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ x,y,z\geq 0,\ (y,z)\in E^+\subseteq \mathbb{R}^2 \text{ e } \frac{1}{2}\ \sqrt{2y^2 + 5z^2 - 2} \leq x\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\ \sqrt{30 - 2y^2-5z^2}\right\}
\]
in cui \(E^+\) è l'insieme del primo quadrante nel piano \(Oyz\) su cui si proietta \(A^+\), il quale è descritto dalle limitazioni:
\[
y,z\geq 0 \text{ e } \frac{1}{2}\ \sqrt{2y^2 + 5z^2 - 2} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\ \sqrt{30 - 2y^2-5z^2}
\]
ed è perciò il quarto della regione interna all'ellisse di equazione \(2y^2+5z^2=\frac{62}{3}\)[nota]La scrivo così per comodità di conto nel seguito.[/nota] contenuto nel primo quadrante, i.e.:
\[
\tag{2}
E^+ := \left\{ (y,z)\in \mathbb{R}^2:\ y,z\geq 0 \text{ e } 2y^2+5z^2\leq \frac{62}{3} \right\}\; .
\]
Ora, hai:
\[
\operatorname{vol} (A^+) = \iiint_{A^+} \text{d} x\text{d} y\text{d} z
\]
e, data la struttura del compatto \(A^+\) puoi passare in coordinate cilindriche/ellittiche con asse l'asse delle ascisse, i.e. puoi fare la trasformazione di coordinate:
\[
\begin{cases}
x= h \\
y= \frac{1}{\sqrt{2}}\ \rho\ \cos \theta\\
z= \frac{1}{\sqrt{5}}\ \rho\ \sin \theta
\end{cases}
\]
con:
\[
\begin{split}
0\leq &\theta\leq \frac{\pi}{2}\; , \\
\frac{1}{2}\ \sqrt{\rho^2 - 2} \leq &h\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\ \sqrt{30 - \rho^2}\\
0\leq &\rho \leq \sqrt{\frac{62}{3}}\; .
\end{split}
\]
(in cui la prima condizione discende da \(y,z\geq 0\) in (2); la seconda da \(\frac{1}{2}\ \sqrt{2y^2 + 5z^2 - 2} \leq x\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\ \sqrt{30 - 2y^2-5z^2}\) in (1); la terza da \(2y^2+5z^2\leq 62/3\) in (2)); poiché lo jacobiano della trasformazione è \(\rho/\sqrt{10}\), l'integrale che ne vien fuori è:
\[
\operatorname{vol} (A^+) = \frac{1}{\sqrt{10}}\ \int_0^{\pi/2} \int_0^{\sqrt{62/3}} \int_{\frac{1}{2}\ \sqrt{\rho^2 - 2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}\ \sqrt{30 - \rho^2}} \rho\ \text{d} \theta \text{d}\rho \text{d} h\; ,
\]
che non mi pare proibitivo (ma nemmeno imediatissimo).
\[
\operatorname{vol} (A) = 8\ \operatorname{vol} (A^+)\; ,
\]
con \(A^+\), precisamente, definito al modo che segue:
\[
\tag{1}
A^+ := \left\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ x,y,z\geq 0,\ (y,z)\in E^+\subseteq \mathbb{R}^2 \text{ e } \frac{1}{2}\ \sqrt{2y^2 + 5z^2 - 2} \leq x\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\ \sqrt{30 - 2y^2-5z^2}\right\}
\]
in cui \(E^+\) è l'insieme del primo quadrante nel piano \(Oyz\) su cui si proietta \(A^+\), il quale è descritto dalle limitazioni:
\[
y,z\geq 0 \text{ e } \frac{1}{2}\ \sqrt{2y^2 + 5z^2 - 2} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\ \sqrt{30 - 2y^2-5z^2}
\]
ed è perciò il quarto della regione interna all'ellisse di equazione \(2y^2+5z^2=\frac{62}{3}\)[nota]La scrivo così per comodità di conto nel seguito.[/nota] contenuto nel primo quadrante, i.e.:
\[
\tag{2}
E^+ := \left\{ (y,z)\in \mathbb{R}^2:\ y,z\geq 0 \text{ e } 2y^2+5z^2\leq \frac{62}{3} \right\}\; .
\]
Ora, hai:
\[
\operatorname{vol} (A^+) = \iiint_{A^+} \text{d} x\text{d} y\text{d} z
\]
e, data la struttura del compatto \(A^+\) puoi passare in coordinate cilindriche/ellittiche con asse l'asse delle ascisse, i.e. puoi fare la trasformazione di coordinate:
\[
\begin{cases}
x= h \\
y= \frac{1}{\sqrt{2}}\ \rho\ \cos \theta\\
z= \frac{1}{\sqrt{5}}\ \rho\ \sin \theta
\end{cases}
\]
con:
\[
\begin{split}
0\leq &\theta\leq \frac{\pi}{2}\; , \\
\frac{1}{2}\ \sqrt{\rho^2 - 2} \leq &h\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\ \sqrt{30 - \rho^2}\\
0\leq &\rho \leq \sqrt{\frac{62}{3}}\; .
\end{split}
\]
(in cui la prima condizione discende da \(y,z\geq 0\) in (2); la seconda da \(\frac{1}{2}\ \sqrt{2y^2 + 5z^2 - 2} \leq x\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\ \sqrt{30 - 2y^2-5z^2}\) in (1); la terza da \(2y^2+5z^2\leq 62/3\) in (2)); poiché lo jacobiano della trasformazione è \(\rho/\sqrt{10}\), l'integrale che ne vien fuori è:
\[
\operatorname{vol} (A^+) = \frac{1}{\sqrt{10}}\ \int_0^{\pi/2} \int_0^{\sqrt{62/3}} \int_{\frac{1}{2}\ \sqrt{\rho^2 - 2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}\ \sqrt{30 - \rho^2}} \rho\ \text{d} \theta \text{d}\rho \text{d} h\; ,
\]
che non mi pare proibitivo (ma nemmeno imediatissimo).
"gugo82":
Osserva che \(A\) è simmetrico rispetto ai piani coordinati, dunque detta \(A^+\) l'intersezione di \(A\) col primo ottante (cioé quello definito dalle limitazioni \(x,y,z\geq 0\)), hai:
\[
\operatorname{vol} (A) = 8\ \operatorname{vol} (A^+)\; ,
\]
con \(A^+\), precisamente, definito al modo che segue:
\[
\tag{1}
A^+ := \left\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ x,y,z\geq 0,\ (y,z)\in E^+\subseteq \mathbb{R}^2 \text{ e } \frac{1}{2}\ \sqrt{2y^2 + 5z^2 - 2} \leq x\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\ \sqrt{30 - 2y^2-5z^2}\right\}
\]
in cui \(E^+\) è l'insieme del primo quadrante nel piano \(Oyz\) su cui si proietta \(A^+\), il quale è descritto dalle limitazioni:
\[
y,z\geq 0 \text{ e } \frac{1}{2}\ \sqrt{2y^2 + 5z^2 - 2} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\ \sqrt{30 - 2y^2-5z^2}
\]
ed è perciò il quarto della regione interna all'ellisse di equazione \(2y^2+5z^2=\frac{62}{3}\)[nota]La scrivo così per comodità di conto nel seguito.[/nota] contenuto nel primo quadrante, i.e.:
\[
\tag{2}
E^+ := \left\{ (y,z)\in \mathbb{R}^2:\ y,z\geq 0 \text{ e } 2y^2+5z^2\leq \frac{62}{3} \right\}\; .
\]
Ora, hai:
\[
\operatorname{vol} (A^+) = \iiint_{A^+} \text{d} x\text{d} y\text{d} z
\]
e, data la struttura del compatto \(A^+\) puoi passare in coordinate cilindriche/ellittiche con asse l'asse delle ascisse, i.e. puoi fare la trasformazione di coordinate:
\[
\begin{cases}
x= h \\
y= \frac{1}{\sqrt{2}}\ \rho\ \cos \theta\\
z= \frac{1}{\sqrt{5}}\ \rho\ \sin \theta
\end{cases}
\]
con:
\[
\begin{split}
0\leq &\theta\leq \frac{\pi}{2}\; , \\
\frac{1}{2}\ \sqrt{\rho^2 - 2} \leq &h\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\ \sqrt{30 - \rho^2}\\
0\leq &\rho \leq \sqrt{\frac{62}{3}}\; .
\end{split}
\]
(in cui la prima condizione discende da \(y,z\geq 0\) in (2); la seconda da \(\frac{1}{2}\ \sqrt{2y^2 + 5z^2 - 2} \leq x\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\ \sqrt{30 - 2y^2-5z^2}\) in (1); la terza da \(2y^2+5z^2\leq 62/3\) in (2)); poiché lo jacobiano della trasformazione è \(\rho/\sqrt{10}\), l'integrale che ne vien fuori è:
\[
\operatorname{vol} (A^+) = \frac{1}{\sqrt{10}}\ \int_0^{\pi/2} \int_0^{\sqrt{62/3}} \int_{\frac{1}{2}\ \sqrt{\rho^2 - 2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}\ \sqrt{30 - \rho^2}} \rho\ \text{d} \theta \text{d}\rho \text{d} h\; ,
\]
che non mi pare proibitivo (ma nemmeno imediatissimo).
concordo con tutto il tuo ragionamento però non capisco il dominio di $ A^+ $ durante l'integrazione. io penso che si debba dividere il dominio dell'integrale dato che per essere risolto ha bisogno di un dominio normale. premetto che non sono un matematico quindi scusatemi se dico delle bestialità.
$ vol(A^+)=1/sqrt10(int_(0)^(pi/2) int_(0)^(sqrt(62/3)) int_(sqrt(14/3))^(1/sqrt2sqrt(30-rho^2))rho dvarphi drho dh +int_(0)^(pi/2) int_(sqrt2)^(sqrt(62/3)) int_(1/2sqrt(rho^2-2))^(sqrt(14/3))rho dvarphi drhodh) $
giusto?
grazie ancora per i tuoi interventi.
Effettivamente sono stato troppo ottimista sugli estremi d'integrazione... Controlla bene, ma dovrebbe essere giusto.
[N.B.: Odio questi esercizi di conti.]
[N.B.: Odio questi esercizi di conti.]
io ho tenuto conto degli estremi in base al grafico e alle loro intersezioni. il problema è che il risultato dovrebbe essere uguale sia integrando con estremi in $h$ e sia integrando con estremi in $rho$,
$ (4pi)/sqrt(10) (int_(sqrt(14/3))^(sqrt(15))int_(0)^(sqrt(30-2h^2))rho drho dh +int_(0)^(sqrt(14/3))int_(0)^(sqrt(2+4h^2))rho drho dh) =(4pi)/sqrt10( int_(0)^(sqrt(62/3)) int_(sqrt(14/3))^(1/sqrt2sqrt(30-rho^2))rho drho dh +int_(sqrt2)^(sqrt(62/3)) int_(1/2sqrt(rho^2-2))^(sqrt(14/3))rho drhodh) $
durante il calcolo mi rendo conto che non cambiano di molto, forse c'è un errore più grave?
tuttavia i risultati non sono compatibile con quello dato dal professore e ciò mi fa pensare che sto/stiamo sbagliando.
il professore ha tolto circa 4 punti a tutti coloro che hanno affrontato quell'esercizio perché nessuno è riuscito a risolverlo(o forse ha sbagliato lui?).
$ (4pi)/sqrt(10) (int_(sqrt(14/3))^(sqrt(15))int_(0)^(sqrt(30-2h^2))rho drho dh +int_(0)^(sqrt(14/3))int_(0)^(sqrt(2+4h^2))rho drho dh) =(4pi)/sqrt10( int_(0)^(sqrt(62/3)) int_(sqrt(14/3))^(1/sqrt2sqrt(30-rho^2))rho drho dh +int_(sqrt2)^(sqrt(62/3)) int_(1/2sqrt(rho^2-2))^(sqrt(14/3))rho drhodh) $
durante il calcolo mi rendo conto che non cambiano di molto, forse c'è un errore più grave?
tuttavia i risultati non sono compatibile con quello dato dal professore e ciò mi fa pensare che sto/stiamo sbagliando.
il professore ha tolto circa 4 punti a tutti coloro che hanno affrontato quell'esercizio perché nessuno è riuscito a risolverlo(o forse ha sbagliato lui?).
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