Integrale in più variabile su insieme limite

[Zkeggia]

Dovrei calcolare il valore di questo integrale:
$lim_(n->oo)\int_{D_n} (sin(x+y))/(1+z^2) dxdydz$

dove $D_n = [(x,y,z) t.c. n/(n+1) x^2 +y^2 +z^2 < sqrt(n), 0 Ora per n tendente a infinito questo insieme tende all'insieme
$D = [(x,y,z) t.c. 0 e ho poi calcolato l'integrale di f su questo insieme. Ma chi mi assicura che il limite per n tendente all'infinito sia proprio l'integrale su questo insieme? come lo dimostro formalmente?

[gugo82]

Prova ad applicare la definizione di limite alla successione [tex]$a_n:=\int_{D_n} \frac{\sin (x+y)}{1+z^2} \text{ d} \text{ d} y\text{ d}z$[/tex].
In altre parole, controlla se è possibile stabilire definitivamente una disuguaglianza del tipo [tex]$|a-a_n|\leq \varepsilon$[/tex], ove [tex]$a=\int_{D} \frac{\sin (x+y)}{1+z^2} \text{ d} \text{ d} y\text{ d}z$[/tex] ed [tex]$\varepsilon >0$[/tex] è un numero arbitrariamente fissato.

Ovviamente sono possibili anche altre strade: ad esempio, se sapessi che l'integrando è positivo, potresti usare i teoremi sulla continutà della misura indotta da una funzione positiva; oppure potresti applicare qualche teorema di passaggio al limite sotto il segno d'integrale per funzioni misurabili...
Però credo che tu stia studiando Analisi II, quindi controllare la definizione di limite mi pare più giusto e più adatto agli strumenti che hai a disposizione.


P.S.: Ho un piccolo dubbio:

"Zkeggia":$D_n = \{(x,y,z) " t.c. " n/(n+1) x^2 +y^2 +z^2 < sqrt(n),\ 0
Il fattore [tex]$\frac{n}{n+1}$[/tex] moltiplica solo [tex]$x^2$[/tex]?

Ah, in MathML (come pure in TeX) le graffe si ottengono con \{ e \} ($\{ \}$).

[Zkeggia]

Stavo pensando più che altro a verificare che f sia integrabile su ogni $D_n$, che $D_k sub D_(k+1)$ e che $mu(D\\uuu_{i in I} D_1^oo) = 0$ per usare il teorema che mi dice proprio che l'integrale su D è il limite della successione di integrali sugli $A_k$, ma non riesco a dimostrare che $mu(D\\uuu_{i in I} D_1^oo) = 0$...
L'idea è che l'insieme $D\\ D_n = {(x,y,z)t.c. sqrt(n)0$ ?

Inoltre la disuguaglianza che mi suggerisci non saprei come affrontarla visto che sono abituato a trattare successioni di numeri e non di insiemi.


P.S
Sì quel fattore sta a moltiplicare solo la x...