Integrale in $\mathbb{R^3}$

[Blizz1]

Nel calcolo del seguente integrale non riesco a capire dove sbaglio:



Il secondo in particolare che per $z$ ha estremi $\frac{3sqrt{2}}{2}$ e $+\infty$ mi viene una forma indeterminata $+\infty-\infty$

Vi posto anche il procedimento sperando che sia leggibile:



Grazie per l'aiuto!

[ciampax]

Tu bisogna che inizi ad usare il Latex, altrimenti qua non se ne esce più vivi, però.
Come in altri esercizi, quando effettui il cambiamento di coordinate ottieni le nuove limitazioni seguenti:
$$z\ge 0,\ \rho^2\le\min\{z^2,\ 9-z^2\}$$
Osserva che non essendoci più dipendenza da $\theta$, possiamo affermare che $\theta\in[0,2\pi]$. A questo punto, traccia il grafico delle due curve $\rho=z,\ \rho^2+z^2=9$ in un piano cartesiano $zO\rho$ di cui basta prendere il primo quadrante, visto che $z\ge 0$ e per definizione $\rho\ge 0$. Ora, osserva che, fissato il punto di intersezione $(3/\sqrt{2},3/\sqrt{2})$ la funzione "minimo" può riscriversi così
$$\min\{z^2,\ 9-z^2\}=\left\{\begin{array}{lcl}
z & & 0\le z\le\frac{3}{\sqrt{2}}\\ 9-z^2 & & \frac{3}{\sqrt{2}}\le z\le 3
\end{array}\right.$$
(lo vedi subito disegnandole). Quindi non hai estremi illimitati, ma tutti limitati. In definitiva l'integrale si spezza sui due domini seguenti
$$D_1\ :\ \theta\in[0,2\pi],\quad 0\le z\le\frac{3}{\sqrt{2}},\quad 0\le\rho\le z\\
D_2\ :\ \theta\in[0,2\pi],\quad \frac{3}{\sqrt{2}}\le z\le 3,\quad 0\le\rho\le 9-z^2$$

[Blizz1]

Non ho ben capito perché il secondo estremo è solo 3..

[ciampax]

Lo hai fatto il disegno? Fai il disegno...

[Blizz1]

Si ora ho tracciato il disegno della semiretta uscente dall'origine $\rho=z$ e dell'arco di circonferenza nel primo quadrante $z^2+\rho^2=9$. Ho visto che il punto di intersezione è $ (\frac{3}{sqrt{2}};\frac{3}{sqrt{2}})$ e che $\rho$ non può essere quindi più grande di $3$. Ti ringrazio per il suggerimento. Non ero tanto abituato a pensarla in questo modo, cioè a disegnarlo e vedere graficamente i limiti. Io ero partito semplicemente dicendo:

$min{z^2;9-z^2}=z^2$ se $z^2<9-z^2$

invece

$min{z^2;9-z^2}=9-z^2$ se $z^2>9-z^2$

La seconda in particolare mi dava $z> +- \frac{3sqrt{2}}{2}$ e perciò mi risultava che $\frac{3sqrt{2}}{2}
CHiaramente il mio modo di procedere è sbagliato, ma come faccio ad accorgermene prima di arrivare alla fine e vedere che l'integrale mi da una forma indeterminata?

[ciampax]

Il fatto è che usando le disequazioni, in questo caso, ragioni male. Devi ricordare anche che $z\ge 0,\ \rho\ge 0$ e considerare quali sono le curve che stai analizzando.Il grafico, comunque, è la soluzione a tutti i problemi.

E tra l'altro tu ti sei fermato a vedere quale fosse il minimo, ma devi tenere conto che le disequazioni corrette per il dominio sono
$\rho^2\le z^2$ se $z^2<9-z^2$
$\rho^2\le 9-z^2$ se $9-z^2

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[Blizz1]

Grazie è vero hai ragione.. devo cercare sempre di riuscire a tracciare il disegno..

[Blizz1]

Grazie è vero hai ragione.. devo cercare sempre di riuscire a tracciare il disegno..

[Blizz1]

Siccome dovrebbe essere veloce lo scrivo qui e non creo un'altro argomento che potrebbe occupare spazio prezioso:

La soluzione del seguente integrale:



è

$\frac{3arctan(3)}{2}$ ?

[ciampax]

A me viene $2\arctan(3)$.

[Blizz1]

Provo a rifarlo, e se riesco scrivo in passaggi in LaTex

[Blizz1]

Si hai ragione viene $2arctan(3)$. Avevo sbagliato a fare il prodotto $\rho^{\frac{-3}{2}}*\rho=\rho^{\frac{-1}{2}}$. Avevo scritto $\rho^{\frac{-3}{2}}*\rho=\rho^{\frac{-1}{3}}$