Integrale in due variabili

[telerino]

Buonasera a tutti, divertiamoci con gli integrali in questo sabato sera
allora:
$ int int_(D) xdx dy $ con $ D={(x,y)in R^2|x,y>=0,y<=x^2,(x-1)^2+y^2<=1} $
il dominio è la parte di piano appartenente al primo quadrante tra il ramo di parabola e la circonferenza di raggio uno e centro in $x=1$
io ho operato in questo modo:
-ho espresso il dominio in forma normale rispetto a y: $ D={(x,y)in R^2|x,y>=0,0<=y<=1,sqrt(y)<=x<=1+sqrt(1-y^2)} $
-ho risolto allora l'integrale: $int_(0)^(1)dy int_(sqrt(y))^(1+sqrt(1-y^2))xdx=1/2*int_(0)^(1)(2-y^2+2sqrt(1-y^2)-y)dy=
1/2*[2y-(y^3)/3+arcsiny+ycos(arcsiny)-(y^2)/2]_0^1=7/12+pi/4$
ragionamento e svolgimento corretti?
grazie dell'attenzione ragazzi.

[21zuclo]

io sinceramente avrei agito in altro modo..

avrei visto in quali punti parabola e circonferenza si incontrano $ { ( (x-1)^2+y^2=1 ),( y=x^2 ):} $

facendo il disegno (che è più facile) .. noti che si incontrano in 2 punti $ P_(1)=((0),(0)) \vee P_(2)=((1),(1)) $

e integrando per fili.. fissi prima $x\in [0,1]$ e poi $x\in[1,2]$

con $x\in [0,1]$ hai che $y\in [0,x^2]$ mentre $x\in [1,2]$ hai che $ y\in [0, \sqrt(-x^2+2x)] $

$ \int_(0)^(1)(x)dx(\int_(0)^(x^2)dy)+\int_(1)^(2)(x)dx(\int_(0)^(\sqrt(-x^2+2x))dy) $

a vista d'occhio.. mi sembra esatto pure il tuo ragionamento.. in teoria dovrebbe tornare lo stesso risultato..

[telerino]

Perfetto, grazie per quest'altro punto di vista.