Integrale in coordinate polari traslate
Buongiorno ragazzi, vorrei chiedervi un aiuto per scovare il mio erore
Ho provato a risolvere questo integrale su D
$( x − √2)^2 + ( y − √ 2)^2 ≤ 4 , x ≥ 0$
$\int_D ( x − y ) sqrt(x^2+y^2) dxdy$
Ho provato in tutti modi, a usare le polari traslate nel centro ma viene fuori qualcosa di molto complesso, a usare le polari centrate in O degli assi,a scrivere poi l'equazione di una semicirconvefernza così facendo poi la derivata trovare la tangente in o e capire di quanto far variare theta, ma anche lì non ha portato nessun risultato.
L'unico suggerimento del testo è: risolvere in polari
Ho provato a risolvere questo integrale su D
$( x − √2)^2 + ( y − √ 2)^2 ≤ 4 , x ≥ 0$
$\int_D ( x − y ) sqrt(x^2+y^2) dxdy$
Ho provato in tutti modi, a usare le polari traslate nel centro ma viene fuori qualcosa di molto complesso, a usare le polari centrate in O degli assi,a scrivere poi l'equazione di una semicirconvefernza così facendo poi la derivata trovare la tangente in o e capire di quanto far variare theta, ma anche lì non ha portato nessun risultato.
L'unico suggerimento del testo è: risolvere in polari
Risposte
Infatti devi risolverlo in polari, alla fine sono un po' di conti brutti che con pazienza si fanno.
Con le polari centrate in zero ottieni infatti che l'insieme d'integrazione diventa $\Omega=\{-\pi/2 \le\theta \le \pi/2 , 0\le \rho \le 2\sqrt{2} \sin2\theta\}$ e l'integrale diventa $\int_\Omega \rho^3(\cos \theta - \sin\theta}d\rho d\theta$ , integrando per forza prima rispetto a $\rho$ arrivi all'integrale $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2^4 (\cos\theta-\sin\theta)\sin^4\theta d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2^4 \cos\theta\sin^4\theta d\theta-\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2^4 \sin^5\theta d\theta$ essendo il seno una funzione dispari , allora è dispari anche ogni sua potenza dispari, ed essendo l'integrale simmetrico rispetto all'origine, hai che il secondo integrale vale zero. Ti resta da risolvere il primo integrale, ma basta ricordare che $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ e otterrai che l'integrale diventa la somma di 3 integrali di potenze del coseno, che con calma ti risolvi, o vai a guardare sulle tabelle, inoltre il coseno è pari quindi volendo puoi fare solo l'integrale fra zero e pi greco mezzi e moltiplicare per due l'integrale. Spero di esserti stato utile
Con le polari centrate in zero ottieni infatti che l'insieme d'integrazione diventa $\Omega=\{-\pi/2 \le\theta \le \pi/2 , 0\le \rho \le 2\sqrt{2} \sin2\theta\}$ e l'integrale diventa $\int_\Omega \rho^3(\cos \theta - \sin\theta}d\rho d\theta$ , integrando per forza prima rispetto a $\rho$ arrivi all'integrale $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2^4 (\cos\theta-\sin\theta)\sin^4\theta d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2^4 \cos\theta\sin^4\theta d\theta-\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2^4 \sin^5\theta d\theta$ essendo il seno una funzione dispari , allora è dispari anche ogni sua potenza dispari, ed essendo l'integrale simmetrico rispetto all'origine, hai che il secondo integrale vale zero. Ti resta da risolvere il primo integrale, ma basta ricordare che $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ e otterrai che l'integrale diventa la somma di 3 integrali di potenze del coseno, che con calma ti risolvi, o vai a guardare sulle tabelle, inoltre il coseno è pari quindi volendo puoi fare solo l'integrale fra zero e pi greco mezzi e moltiplicare per due l'integrale. Spero di esserti stato utile
Però non capisco perché nella soluzione, che in realtà non è ben spiegata sul testo di esame ma c'è solo scritto l'integrale finale metta come intervallo dell'angolo -pi/4 a pi/2.
Nel senso, mi è tornato tutto su rho, ma sul theta proprio non capisco, per questo ho provato a trovare la funzione della semicirconferenza e fare la derivata nell'origine così da avere la pendenza della retta tangente ma nulla, non mi esce quen dannato -pi/4
Nel senso, mi è tornato tutto su rho, ma sul theta proprio non capisco, per questo ho provato a trovare la funzione della semicirconferenza e fare la derivata nell'origine così da avere la pendenza della retta tangente ma nulla, non mi esce quen dannato -pi/4
Fai un disegno di $D$.
"gugo82":
Fai un disegno di $D$.
La cosa grave?
E' che l'ho fatto
Tuttavia quel -pi/4 non lo capisco,è una circonferenza traslata passante per O
Non solo passa per l'origine, ma ha come tangente in quel punto la bisettrice del secondo e quarto quadrante.
Sì certo, quello sì, ma non ho capito come mostrarlo formalmente.
Era quello il succo della domanda in realtà
Buon sabato
Era quello il succo della domanda in realtà
Buon sabato
Il centro è sulla bisettrice del primo quadrante è la tangente è ortogonale al raggio.
È geometria elementare.
È geometria elementare.
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