Integrale in campo complesso!! Aiutatemi
Ragazzi ho bisogno del vostro aiuto!
Devo calcolare il valore del seguente integrale con i metodi dell'analisi complessa:
[tex]\int_{-\infty}^{\infty} {1\over \sqrt{x}(x+1) }\, dx[/tex]
Allora la funzione ha un polo in -1 e inoltre la funzione radice in campo complesso non è prolungabile in zero.
Quindi ho pensato, considerando l'asse immaginario positivo, il circuito in figura:
[/img]
con il verso indicato...
Ma non riesco a risolverlo!!!
Chi mi aiuta???
Grazie anticipatamente.
Devo calcolare il valore del seguente integrale con i metodi dell'analisi complessa:
[tex]\int_{-\infty}^{\infty} {1\over \sqrt{x}(x+1) }\, dx[/tex]
Allora la funzione ha un polo in -1 e inoltre la funzione radice in campo complesso non è prolungabile in zero.
Quindi ho pensato, considerando l'asse immaginario positivo, il circuito in figura:
[/img]con il verso indicato...
Ma non riesco a risolverlo!!!
Chi mi aiuta???
Grazie anticipatamente.
Risposte
L'integrale, così com'è scritto, non ha senso: infatti [tex]$\sqrt{x}$[/tex] è definita solo per [tex]$x\geq 0$[/tex].
Anche in campo complesso????
Io ho vari esercizi dove viene calcolato l'integrale da -inf a +inf con la radice!
Credo che tu ti stia confondendo con il caso del domino Reale.
Io ho vari esercizi dove viene calcolato l'integrale da -inf a +inf con la radice!
Credo che tu ti stia confondendo con il caso del domino Reale.
Quello che proponi è un integrale reale e come tale ha da aver senso
Che poi, eventualmente, si usino metodi di variabile complessa per calcolarlo è un altro paio di maniche.
Che poi, eventualmente, si usino metodi di variabile complessa per calcolarlo è un altro paio di maniche.
Intanto grazie comunque per aver posto attenzione alla mia richiesta d'aiuto!!
Devo puntualizzare però che al secondo rigo del mio primo post ho precisato "...con i metodi dell'analisi complessa: "
Per questo non riuscivo a capire il tuo intervento!
Devo puntualizzare però che al secondo rigo del mio primo post ho precisato "...con i metodi dell'analisi complessa: "
Per questo non riuscivo a capire il tuo intervento!
Converrai con me che se una cosa non esiste, non ha alcun senso cercare di calcolarla...
L'integrale [tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x} (x+1)} \text{d} x$[/tex] non esiste (perchè l'integrando è definito solo per [tex]$x>0$[/tex]), ergo non ha senso volerlo calcolare né con tecniche reali, né con tecniche complesse, né con tecniche numeriche, né con l'aiuto di Pippo, Pluto e Topolino.
Al massimo puoi calcolare [tex]$\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x} (x+1)} \text{d} x$[/tex]... Probabile che sia sbagliato il testo dell'esercizio; col copia/incolla capita.
L'integrale [tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x} (x+1)} \text{d} x$[/tex] non esiste (perchè l'integrando è definito solo per [tex]$x>0$[/tex]), ergo non ha senso volerlo calcolare né con tecniche reali, né con tecniche complesse, né con tecniche numeriche, né con l'aiuto di Pippo, Pluto e Topolino.
Al massimo puoi calcolare [tex]$\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x} (x+1)} \text{d} x$[/tex]... Probabile che sia sbagliato il testo dell'esercizio; col copia/incolla capita.
Io mi ostino!!! A solte serve a imparare (fino a che chi risponde non ti manda a quel paese!!!)
Ma tu mi vuoi dire che non esiste IN CAMPO COMPLESSO la radice di -9????
nota:
[tex]\int_{-\infty}^{\infty} {1\over \sqrt{z}(z+1) }\, dz[/tex]
Ma tu mi vuoi dire che non esiste IN CAMPO COMPLESSO la radice di -9????
nota:
[tex]\int_{-\infty}^{\infty} {1\over \sqrt{z}(z+1) }\, dz[/tex]
Quello che sta cercando di farti capire gugo82 è che il testo dell'esercizio propone un integrale di una funzione di variabile reale a valori reali che deve essere risolto con metodi di analisi complessa.
Dunque deve avere senso l'espressione di tale funzione nel campo reale! E poichè per come è stato presentato si deve considerare la funzione su tutto l'asse reale, questa deve essere definita su tutto l'asse reale, ma l'espessione della funzione presenta $\sqrt x$ che è definita solo per $x >= 0$, essendo al denominatore solo per $x > 0$.
Se si pensa a $x$ come variabile complessa allora la scrittura $\int_{-\infty}^{+\infty}$ è alquanto ambigua poichè gli integrali per funzioni di variabile complesse sono "curvilinei" dunque ci si aspetta un cammino sul quale effettuare l'integrazione.
Dunque deve avere senso l'espressione di tale funzione nel campo reale! E poichè per come è stato presentato si deve considerare la funzione su tutto l'asse reale, questa deve essere definita su tutto l'asse reale, ma l'espessione della funzione presenta $\sqrt x$ che è definita solo per $x >= 0$, essendo al denominatore solo per $x > 0$.
Se si pensa a $x$ come variabile complessa allora la scrittura $\int_{-\infty}^{+\infty}$ è alquanto ambigua poichè gli integrali per funzioni di variabile complesse sono "curvilinei" dunque ci si aspetta un cammino sul quale effettuare l'integrazione.
Hai ragione.. infatti il metodo dell'analisi complessa come primo passo impone di studiare il tutto sostituendo alla variabile reale quella complessa.
ossia di studiare in campo complesso a variabile complessa e non più reale...
ho una caterva di esercizi tutti svolti... si sarà sbagliato a tutti il prof evidentemente??
Cmq grazie tante a tutti per la pazienza!
ossia di studiare in campo complesso a variabile complessa e non più reale...
ho una caterva di esercizi tutti svolti... si sarà sbagliato a tutti il prof evidentemente??
Cmq grazie tante a tutti per la pazienza!
Okkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
Chiedo scusa a tutti avevo gli appunti di cacca!!!
Chiedo ancor venia!
Avevate ragione (come sempre del resto)!!!
va da 0 a + inf!!!
Che figura di cacca!!!
e quindi svelato questa parte di arcano che si fa??
ps: mi sa che vado a lezione da Pippo, Pluto e Topolino. XD
Chiedo scusa a tutti avevo gli appunti di cacca!!!
Chiedo ancor venia!
Avevate ragione (come sempre del resto)!!!
va da 0 a + inf!!!
Che figura di cacca!!!
e quindi svelato questa parte di arcano che si fa??
ps: mi sa che vado a lezione da Pippo, Pluto e Topolino. XD
In breve: considera due cammini di questo tipo, in modo tale che il punto $-1$ cada all'interno di $C_2$:
Definisci poi $f_1(z) = \frac{e^{-1/2 \ln z}}{1+z}$ se $-\frac{\pi}{2} < \arg z < \frac{3\pi}{2}$ e $f_2(z) = \frac{e^{-1/2 \ln z}}{1+z}$ se $\frac{\pi}{2} < \arg z < \frac{5\pi}{2}$.
Hai $\int_{C_1} f_1(z) dz = 0$, mentre $\int_{C_2} f_2(z) dz = 2\pi i Res(f_2,-1) = 2\pi$.
Indicati con $\gamma^i_\rho$ e $\gamma^i_R$ gli archi di cerchio rispettivamente piccoli e grandi (con $i =1,2$ per indicare i due casi), con l'orientamento in figura, hai
$\int_{C_1} f_1(z) dz + \int_{C_2} f_2(z) dz = \int_\rho^R f_1(z) dz + \int_{\gamma_R^1} f_1(z) dz + \int_{\gamma_\rho^1} f_1(z) dz - \int_\rho^R f_2(z) dz + \int_{\gamma_R^2} f_2(z) dz + \int_{\gamma_\rho^2} f_2(z) dz = 2\pi$.
Nel limite $\rho \to 0$ e $R \to +\infty$ puoi mostrare che gli integrali su $\gamma^i_\rho$ e $\gamma^i_R$ tendono a $0$. Dunque
$2 \pi = \int_0^{+\infty} (\frac{e^{-1/2 \ln x}}{1+x} - \frac{e^{-1/2(\ln x+2pi i)}}{1+x}) dx = 2\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt(x)(1+x)} dx$.
Lascio a te i dettagli..
Definisci poi $f_1(z) = \frac{e^{-1/2 \ln z}}{1+z}$ se $-\frac{\pi}{2} < \arg z < \frac{3\pi}{2}$ e $f_2(z) = \frac{e^{-1/2 \ln z}}{1+z}$ se $\frac{\pi}{2} < \arg z < \frac{5\pi}{2}$.
Hai $\int_{C_1} f_1(z) dz = 0$, mentre $\int_{C_2} f_2(z) dz = 2\pi i Res(f_2,-1) = 2\pi$.
Indicati con $\gamma^i_\rho$ e $\gamma^i_R$ gli archi di cerchio rispettivamente piccoli e grandi (con $i =1,2$ per indicare i due casi), con l'orientamento in figura, hai
$\int_{C_1} f_1(z) dz + \int_{C_2} f_2(z) dz = \int_\rho^R f_1(z) dz + \int_{\gamma_R^1} f_1(z) dz + \int_{\gamma_\rho^1} f_1(z) dz - \int_\rho^R f_2(z) dz + \int_{\gamma_R^2} f_2(z) dz + \int_{\gamma_\rho^2} f_2(z) dz = 2\pi$.
Nel limite $\rho \to 0$ e $R \to +\infty$ puoi mostrare che gli integrali su $\gamma^i_\rho$ e $\gamma^i_R$ tendono a $0$. Dunque
$2 \pi = \int_0^{+\infty} (\frac{e^{-1/2 \ln x}}{1+x} - \frac{e^{-1/2(\ln x+2pi i)}}{1+x}) dx = 2\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt(x)(1+x)} dx$.
Lascio a te i dettagli..
Grazie tante ci provo subito!!!
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