Integrale in 3 variabili, aiuto

[zio_mangrovia]

Sapete come si risolve questo integrale? Ho sempre visto quelli in due variabili

$\int_Tsqrt(x^2+y^2)$ $dx$ $dy$ $dz$, ove $T={z>0}∩{x^2+y^2≤9−z}$vale $T$

[matteoorlandini]

Ciao, guardando questo integrale devi riuscire ad immaginarti il dominio che, se non sbaglio, assomiglia a un paraboloide centrato nell'origine con altezza massima in $z=9$. Visto che sia nell'integrale sia nel dominio hai un termine del tipo $x^2+y^2$ la cosa più semplice è passare in coordinate polari cilindriche. Trasformi le variabili $x, y, z$ in $rho, phi, h$ con le seguenti equazioni:
$x=rho*cos(phi)$
$y=rho*sen(phi)$
$z=h$
Nota che $rho^2=x^2+y^2$ e $rho=sqrt(x^2+y^2)$. Ora devi capire quali sono gli estremi di integrazione da $x,y,z$ e portarli in $rho, phi, h$. Il nuovo dominio è dunque $D={h>0, rho<9-h, 0=0$ allora $0 L' ultimo passo è sostituire i differenziali $dxdydz$ con il determinante della matrice Jacobiana di cambiamento di variabile. Il nuovo differenziale è $rhodrhodphidh$.

[zio_mangrovia]

"matteoorlandini":Ciao, guardando questo integrale devi riuscire ad immaginarti il dominio che, se non sbaglio, assomiglia a un paraboloide centrato nell'origine con altezza massima in $z=9$. Visto che sia nell'integrale sia nel dominio hai un termine del tipo $x^2+y^2$ la cosa più semplice è passare in coordinate polari cilindriche. Trasformi le variabili $x, y, z$ in $rho, phi, h$ con le seguenti equazioni:
$x=rho*cos(phi)$
$y=rho*sen(phi)$
$z=h$
Nota che $rho^2=x^2+y^2$ e $rho=sqrt(x^2+y^2)$. Ora devi capire quali sono gli estremi di integrazione da $x,y,z$ e portarli in $rho, phi, h$. Il nuovo dominio è dunque $D={h>0, rho<9-h, 0=0$ allora $0 L' ultimo passo è sostituire i differenziali $dxdydz$ con il determinante della matrice Jacobiana di cambiamento di variabile. Il nuovo differenziale è $rhodrhodphidh$.

Grazie, mi chiedo in quali casi utilizzare le coordinate sferiche... avrei usato quelle ma erroneamente.
Perché invece vale $0

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[matteoorlandini]

Immagina il paraboloide visto in sezione tagliandolo con un piano parallelo a x-y e tenendo costante la variabile z. Ottieni dei cerchi "pieni" quindi devi prendere tutti gli angoli descritti dal cerchio, cioè gli angoli tra $0$ e $2pi$. Spero di essermi espresso in maniera comprensibile. Potresti anche ricavartelo dalle formule di passaggio di coordinate ma credo sia più lungo e (forse) meno intuibile.

Ho visto ora che ci ho lasciato qualche $<=$ nel dominio. Comunque non dovrebbero essere influenti nei calcoli.