INTEGRALE IMPROPRIO...MOLTO IMPORTANTE...

[leodistefano]

ciao raga vi prego mi potreste dire per quali valori di b questo integrale è convergente?
lo vorrei sapere xke stava nel testo d'esame di analisi 2 e vorrei sapere se l'ho fatto bene...
grazie

$\int_0^{+\infty} {(x^B)*\text{arctan}(\sqrt(x/7))*ln(1+2x^2)^{(B+3/8)}}/{(x+7)x^(1/8)}dx$





grazie 1000
LEO

[cavallipurosangue]

Ho modificato il testo affinchè si capisca bene il tutto...

[cavallipurosangue]

Io dividerei l'integrale in due parti:
$\int_1^{+\infty} {(x^B)*\text{arctan}(\sqrt(x/7))*ln(1+2x^2)^{(B+3/8)}}/{(x+7)x^(1/8)}dx$
$\int_0^{1} {(x^B)*\text{arctan}(\sqrt(x/7))*ln(1+2x^2)^{(B+3/8)}}/{(x+7)x^(1/8)}dx$

A questo punto studierei i comportamenti dei due in un intorno dei punti "pericolosi" che risultano in questo caso $0$ e $+\infty$.
Studiamo il primo in un intorno di $+\infty$:
$\int_1^{+\infty} {(x^B)*\text{arctan}(\sqrt(x/7))*ln(1+2x^2)^{(B+3/8)}}/{(x+7)x^(1/8)}dx\approx\int_1^{+\infty}x^B/x^{9/8}dx=\int_1^{+\infty}1/x^{(9/8-B)}dx$
Quindi l'integrale converge solo se $9/8-B>1=>B<1/8$
Nel secondo caso tutte le funzioni che compongono l'integranda sono infinitesime quando x tende a 0, quindi possiamo utilizzare gli sviluppi di MacLaurin:
$\int_0^{1} {(x^B)*\text{arctan}(\sqrt(x/7))*ln(1+2x^2)^{(B+3/8)}}/{(x+7)x^(1/8)}dx\approx\int_0^{1}{x^B(x/7)^{1/2}(2x^2)^{(B+3/8)}}/{x^{9/8}+7x^{1/8}}dx\approxC\int_0^{1}x^{(B+1/2+2B+3/8)}/x^{1/8}dx=C\int_0^1x^{(3B+7/8)}/x^{1/8}dx=C\int_0^1 1/x^{-(3B+3/4)}dx$
Che converge solo se: $-(3B+3/4)<1=>3B+3/4> -1=>B>7/12$

Ci sta che abbia sbagliato qualche conto, ma il procedimento dovrebbe esser corretto...