Integrale improprio tramite criterio del confronto
Ciao a tutti
devo studiare la convergenza di questo integrale improprio tramite il criterio del confronto:
$\int_{1}^{3} dx/((x-1)^2sqrt(3-x))$
Ho proceduto in questo modo:
Dato che la funzione integranda ha due asintoti verticali, (per $x=1$ e $x=3$), suddivido lo studio in due parti.
-Prima parte) Se prendo in considerazione $[b,3)$, con $b\in(2,3)$, allora in questo intervallo $1/((x-1)^2sqrt(3-x))<1/sqrt(3-x)$
e quindi poi calcolo $\int_{b}^{3} dx/sqrt(3-x)=\lim_{t \to 3}\int_{b}^{t} dx/sqrt(3-x)$
-Seconda a parte) Poi considero $(1,a]$, con $a\in(1,2)$, e in questo intervallo $1/((x-1)^2sqrt(3-x))<1/(x-1)^2$
e successivamente calcolo $\int_{1}^{a} dx/(x-1)^2=\lim_{t \to 1}\int_{t}^{a} dx/(x-1)^2$
A questo punto, se entrambi gli integrali sono convergenti, allora anche quello fornito dalla traccia è convergente.
E' corretto il ragionamento? E vanno bene le maggiorazioni?
Vi ringrazio in anticipo
devo studiare la convergenza di questo integrale improprio tramite il criterio del confronto:
$\int_{1}^{3} dx/((x-1)^2sqrt(3-x))$
Ho proceduto in questo modo:
Dato che la funzione integranda ha due asintoti verticali, (per $x=1$ e $x=3$), suddivido lo studio in due parti.
-Prima parte) Se prendo in considerazione $[b,3)$, con $b\in(2,3)$, allora in questo intervallo $1/((x-1)^2sqrt(3-x))<1/sqrt(3-x)$
e quindi poi calcolo $\int_{b}^{3} dx/sqrt(3-x)=\lim_{t \to 3}\int_{b}^{t} dx/sqrt(3-x)$
-Seconda a parte) Poi considero $(1,a]$, con $a\in(1,2)$, e in questo intervallo $1/((x-1)^2sqrt(3-x))<1/(x-1)^2$
e successivamente calcolo $\int_{1}^{a} dx/(x-1)^2=\lim_{t \to 1}\int_{t}^{a} dx/(x-1)^2$
A questo punto, se entrambi gli integrali sono convergenti, allora anche quello fornito dalla traccia è convergente.
E' corretto il ragionamento? E vanno bene le maggiorazioni?
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Supposte corrette le maggiorazioni il ragionamento fila!
Non è necessario eseguire il calcolo dell'integrale improprio : spesso è molto difficile o impossibile.
Dall'esame della funzione integranda devi poter stabilire se l'integrale converge o no, se poi converge ci penserà qualche algoritmo di calcolo numerico a fornire il risultato.Se invece non converge, allora non è il caso di usare un algoritmo di calcolo ... magari un risultato te lo dà, ma ovviamente senza alcun fondamento.
Nel caso specifico i punti critici della funzione integranda sono $ x=1, x=3 $ , la funzione diverge a infinito.
Come diverge ? per $x=1 $ diverge come $k/(x-1)^2 $ e quindi per la presenza dell'esponente $2 $ non è integrabile .
In $x=3 $ diverge come $(3-x)^(1/2) $ e quindi è integrabile essendo $1/2 <1 $.
Nel complesso ovviamente non è integrabile.
Ricorda che $int dx/(x-a)^alpha $ converge nell'intorno di $x= a $ se $ alpha < 1$.
Invece$ int_b ^(+00) dx/x^alpha $ converge se $ alpha > 1 $.
Dall'esame della funzione integranda devi poter stabilire se l'integrale converge o no, se poi converge ci penserà qualche algoritmo di calcolo numerico a fornire il risultato.Se invece non converge, allora non è il caso di usare un algoritmo di calcolo ... magari un risultato te lo dà, ma ovviamente senza alcun fondamento.
Nel caso specifico i punti critici della funzione integranda sono $ x=1, x=3 $ , la funzione diverge a infinito.
Come diverge ? per $x=1 $ diverge come $k/(x-1)^2 $ e quindi per la presenza dell'esponente $2 $ non è integrabile .
In $x=3 $ diverge come $(3-x)^(1/2) $ e quindi è integrabile essendo $1/2 <1 $.
Nel complesso ovviamente non è integrabile.
Ricorda che $int dx/(x-a)^alpha $ converge nell'intorno di $x= a $ se $ alpha < 1$.
Invece$ int_b ^(+00) dx/x^alpha $ converge se $ alpha > 1 $.
Grazie ad entrambi per le risposte e per il tempo dedicato! 
E in più si può dire che l'integrale iniziale diverge, e non è indeterminato, o sbaglio?
"Camillo":
Nel caso specifico i punti critici della funzione integranda sono $ x=1, x=3 $ , la funzione diverge a infinito.
Come diverge ? per $x=1 $ diverge come $k/(x-1)^2 $ e quindi per la presenza dell'esponente $2 $ non è integrabile .
In $x=3 $ diverge come $(3-x)^(1/2) $ e quindi è integrabile essendo $1/2 <1 $.
Nel complesso ovviamente non è integrabile.
E in più si può dire che l'integrale iniziale diverge, e non è indeterminato, o sbaglio?
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