Integrale improprio strano...
Qualcuno mi può risolvere questo integrale: $int_(-oo)^(+oo) (x^2*e^-x^2)dx $ spiegando per bene i passaggi? ...come suggerimento il testo mi dice che: $int_(-oo)^(+oo) (e^-x^2)dx =sqrt(Pi)$
Grazie!!!
Grazie!!!
Risposte
ma la funzione integranda è $x^2e^((x)^2)$?!
Che [tex]\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\text{d} x =\sqrt{\pi}[/tex] devi accettarlo per fede, almeno per ora (una dimostrazione semplice fa uso di strumenti di Analisi II, che ancora non possiedi, evidentemente).
Però, una volta accettata questa relazione, basta integrare per parti con fattore differenziale [tex]$x\ e^{-x^2}\ \text{d} x$[/tex].
Però, una volta accettata questa relazione, basta integrare per parti con fattore differenziale [tex]$x\ e^{-x^2}\ \text{d} x$[/tex].
"Lorin":
ma la funzione integranda è $x^2e^((x)^2)$?!
La funzione integranda è: $x^2*e^(-(x^2))$
"gugo82":
Che [tex]\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\text{d} x =\sqrt{\pi}[/tex] devi accettarlo per fede, almeno per ora (una dimostrazione semplice fa uso di strumenti di Analisi II, che ancora non possiedi, evidentemente).
Però, una volta accettata questa relazione, basta integrare per parti con fattore differenziale [tex]$x\ e^{-x^2}\ \text{d} x$[/tex].
Il fatto è che questo integrale non lo devo fare io, ma è stato un amico che me l'ha chiesto che non ha fatto analisi II.
Io l'ho già fatta analisi 2 (ho finito 3 settimane fa) ma non abbiamo mai fatto integrali di questo tipo... (solo integrali curvilinei di 1a e 2a specie ed integrali doppi e tripli).
La dimostrazione di quell'integrale però forse la si può ricavare da qualcosa che centra con la trasformata di Fourier o sbaglio??
E' apprezzata la dimostrazione
Ok, mettiamo in chiaro la situazione.
Il tuo amico che fa? Analisi I o Analisi II? O ha fatto entrambi e sta studiando, che sò, Probabilità?
Perchè, se sta svolgendo [tex]\int_{-\infty}^{+\infty} x^2e^{-x^2}\text{d} x[/tex] come esercizio di Analisi I, è opportuno che il valore dell'integrale esponenziale [tex]\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\text{d} x =\sqrt{\pi}[/tex] lo assuma per fede e poi usi questa relazione in un'integrazione per parti con fattore differenziale [tex]$xe^{-x^2}\ \text{d} x$[/tex] per calcolare [tex]\int_{-\infty}^{+\infty} x^2e^{-x^2}\text{d} x[/tex].
Altrimenti, se l'amico Fritz conosce le formule di riduzione ed il teorema di cambiamento di coordinate per gli integrali doppi, allora può usare la strategia che ho illustrato qui per dimostrare che [tex]\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\text{d} x =\sqrt{\pi}[/tex]; poi però deve sempre fare un'integrazione per parti per calcolare l'integrale iniziale, eh.
Il tuo amico che fa? Analisi I o Analisi II? O ha fatto entrambi e sta studiando, che sò, Probabilità?
Perchè, se sta svolgendo [tex]\int_{-\infty}^{+\infty} x^2e^{-x^2}\text{d} x[/tex] come esercizio di Analisi I, è opportuno che il valore dell'integrale esponenziale [tex]\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\text{d} x =\sqrt{\pi}[/tex] lo assuma per fede e poi usi questa relazione in un'integrazione per parti con fattore differenziale [tex]$xe^{-x^2}\ \text{d} x$[/tex] per calcolare [tex]\int_{-\infty}^{+\infty} x^2e^{-x^2}\text{d} x[/tex].
Altrimenti, se l'amico Fritz conosce le formule di riduzione ed il teorema di cambiamento di coordinate per gli integrali doppi, allora può usare la strategia che ho illustrato qui per dimostrare che [tex]\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\text{d} x =\sqrt{\pi}[/tex]; poi però deve sempre fare un'integrazione per parti per calcolare l'integrale iniziale, eh.
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