Integrale improprio $sin^2x/x$

fresin
Buona sera, ho un problema con questo integrale improprio:
$\int_{\pi/2}^{+\infty} \frac{(sinx)^2}{x}$
Ho provato a riscrivere il seno quadrato tramite $cos(2x)=1-2sin^2x$ ma non ci salto fuori. Nelle soluzioni dice di integrare per parti per trovare due integrali i quali uno converge e uno diverge ma non riesco. Probabilmente ci sarà un trucchetto coi seni e coseni che però mi sfugge. Grazie in anticipo per le risposte.

Risposte
Mephlip
Integriamo per parti, integrando $\sin^2 x$ e derivando $1/x$. Otteniamo:
$$\int_{\pi/2}^{+\infty} \frac{(\sin x)^2}{x} \text{d}x=-\int_{\pi/2}^{+\infty} \frac{\frac{x}{2}-\frac{\sin(2x)}{4}}{x^2}\text{d}x=-\int_{\pi/2}^{+\infty} \left(\frac{1}{2x}-\frac{\sin(2x)}{4x^2}\right)\text{d}x$$
Dato che:
$$\int_{\pi/2}^{+\infty} \frac{1}{2x}\text{d}x=+\infty$$
e che:
$$\int_{\pi/2}^{+\infty} \left|\frac{\sin(2x)}{4x^2}\right|\text{d}x<+\infty$$
Per il teorema algebrico sulla somma di limiti, l'integrale di partenza diverge. Cosa non ti tornava?

fresin
Si perfetto grazie, immaginavo di star sbagliando qualcosa di stupido. Avevo sbagliato l'integrazione di $sin^2x$ :D.

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.