Integrale improprio $sin^2x/x$

[fresin]

Buona sera, ho un problema con questo integrale improprio:
$\int_{\pi/2}^{+\infty} \frac{(sinx)^2}{x}$
Ho provato a riscrivere il seno quadrato tramite $cos(2x)=1-2sin^2x$ ma non ci salto fuori. Nelle soluzioni dice di integrare per parti per trovare due integrali i quali uno converge e uno diverge ma non riesco. Probabilmente ci sarà un trucchetto coi seni e coseni che però mi sfugge. Grazie in anticipo per le risposte.

[Mephlip]

Integriamo per parti, integrando $\sin^2 x$ e derivando $1/x$. Otteniamo:
$$\int_{\pi/2}^{+\infty} \frac{(\sin x)^2}{x} \text{d}x=-\int_{\pi/2}^{+\infty} \frac{\frac{x}{2}-\frac{\sin(2x)}{4}}{x^2}\text{d}x=-\int_{\pi/2}^{+\infty} \left(\frac{1}{2x}-\frac{\sin(2x)}{4x^2}\right)\text{d}x$$
Dato che:
$$\int_{\pi/2}^{+\infty} \frac{1}{2x}\text{d}x=+\infty$$
e che:
$$\int_{\pi/2}^{+\infty} \left|\frac{\sin(2x)}{4x^2}\right|\text{d}x<+\infty$$
Per il teorema algebrico sulla somma di limiti, l'integrale di partenza diverge. Cosa non ti tornava?

[fresin]

Si perfetto grazie, immaginavo di star sbagliando qualcosa di stupido. Avevo sbagliato l'integrazione di $sin^2x$ .