Integrale improprio scoprire se converge

[zio_mangrovia]

Dato:

$\int_1^\infty (x^2+x+1)/(x^2(x^2+1))\ \text{d} x$ che ho scomposto come:

$\int_1^\infty 1/x\ \text{d} x$ $+$ $\int_1^\infty 1/x^2\ \text{d} x$ $-$ $\int_1^\infty x/(x^2+1)\ \text{d} x$

dove il primo diverge, il secondo converge ed il terzo diverge perché circa $1/x$

E' corretto il procedimento?

[dan952]

È inutile che scomponi, basta verificare che
$\frac{x^2+x+1}{x^2(x^2+1)} ~ \frac{1}{x^2}$

[otta96]

é corretto, ma non ti dice nulla, perché ti ritrovi con una cosa del tipo $+\infty-\infty$, che è una forma indeterminata.
Piuttosto la funzione integranda va a 0 come $1/x^2$ per x che tende a $+\infty$, quindi converge per il criterio del confronto asintotico.

[pilloeffe]

Ciao zio_mangrovia,

Nel caso dell'integrale che hai proposto è anche abbastanza semplice vedere a cosa converge, infatti si ha:

$\int (x^2+x+1)/(x^2(x^2+1)) dx = \int (- frac{x}{x^2 + 1} + frac{1}{x^2} + frac{1}{x})dx = - frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) - frac{1}{x} + \ln|x| + c$

Dunque si ha:

$\int_{1}^{+\infty} (x^2+x+1)/(x^2(x^2+1)) dx = \int_{1}^{+\infty} (- frac{x}{x^2 + 1} + frac{1}{x^2} + frac{1}{x})dx = $
$= [- frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) - frac{1}{x} + \ln(x)]_{1}^{+\infty} = 1 + \ln sqrt{2}$