Integrale improprio parametrico
Devo studiare la convergenza dell'integrale $ int (sin x^2)/(x^a)dx $ con a reale qualsiasi: gli estremi di integrazione sono 1 e +infinito
Ora il mio problema è dimostrare che l'integrale suddetto per $ a<=-1$ non converge... Penso che venga indeterminato in quell'intervallo e per provarlo ho fatto questo procedimento
1) un passaggio di integrazione per parti
2) ho osservato che il limite della primitiva ottenuta per parti non esiste (banale, si dimostra con le sottosuccessioni)
Basta così??? Cioè per dimostrare che un integrale è indeterminato, basta vedere che dividendolo in più parti, una di esse è indeterminata?
(scusate se non vi scrivo le formule, ma non sono molto pratico...)
Grazie mille!!
Ora il mio problema è dimostrare che l'integrale suddetto per $ a<=-1$ non converge... Penso che venga indeterminato in quell'intervallo e per provarlo ho fatto questo procedimento
1) un passaggio di integrazione per parti
2) ho osservato che il limite della primitiva ottenuta per parti non esiste (banale, si dimostra con le sottosuccessioni)
Basta così??? Cioè per dimostrare che un integrale è indeterminato, basta vedere che dividendolo in più parti, una di esse è indeterminata?
(scusate se non vi scrivo le formule, ma non sono molto pratico...)
Grazie mille!!
Risposte
"Mondo":
Devo studiare la convergenza dell'integrale $ int ((sin(x^2))/(x^a))dx $ con a reale qualsiasi...
Ora il mio problema è dimostrare che l'integrale suddetto per $ a<=-1$ non converge... Penso che venga indeterminato in quell'intervallo e per provarlo ho fatto questo procedimento
1) un passaggio di integrazione per parti
2) ho osservato che il limite della primitiva ottenuta per parti non esiste (banale, si dimostra con le sottosuccessioni)
Basta così??? Cioè per dimostrare che un integrale è indeterminato, basta vedere che dividendolo in più parti, una di esse è indeterminata?
(scusate se non vi scrivo le formule, ma non sono molto pratico...)
Grazie mille!!
La convergenza dove? Non hai scritto gli estremi d'integrazione.
Per inserirli prova a fare così: \int_(estremo inferiore)^(estremo superiore).
Gli estremi sono 1 e + infinito
L'unico punto critico dell'intervallo di integrazione è ovviamnete $+oo $.
Il numeratore è una funzione limitata , conta il comportamento del denominatore poer stabilire se l'integrale converge o diverge .
Si vede che deve essere $ a > 1 $ per la convergenza , mentre se $0 <= a <= 1 $ l'integrale diverge, basta che provi a calcolare $int _1^(+oo)dx/(x^a) $ per i vari valori di $a $.
P.S. Naturalmente se $ a< 0 $ l'integrale diverge in quanto la funzione integranda tende a $oo$ per $x rarr +oo$;
Condizione necessaria(putroppo non sufficiente ) perchè converga un integrale del tipo in questione è che la funzione integranda sia infinitesima per $ x rarr +oo$ .
Se è infinitesima di ordine $>1 $ allora converge.
Il numeratore è una funzione limitata , conta il comportamento del denominatore poer stabilire se l'integrale converge o diverge .
Si vede che deve essere $ a > 1 $ per la convergenza , mentre se $0 <= a <= 1 $ l'integrale diverge, basta che provi a calcolare $int _1^(+oo)dx/(x^a) $ per i vari valori di $a $.
P.S. Naturalmente se $ a< 0 $ l'integrale diverge in quanto la funzione integranda tende a $oo$ per $x rarr +oo$;
Condizione necessaria(putroppo non sufficiente ) perchè converga un integrale del tipo in questione è che la funzione integranda sia infinitesima per $ x rarr +oo$ .
Se è infinitesima di ordine $>1 $ allora converge.
"Camillo":
Il numeratore è una funzione limitata , conta il comportamento del denominatore poer stabilire se l'integrale converge o diverge .
Si vede che deve essere $ a > 1 $ per la convergenza , mentre se $0 <= a <= 1 $ l'integrale diverge, basta che provi a calcolare $int _1^(+oo)dx/(x^a) $ per i vari valori di $a $.
P.S. Naturalmente se $ a< 0 $ l'integrale diverge in quanto la funzione integranda tende a $oo$ per $x rarr +oo$;
Condizione necessaria(putroppo non sufficiente ) perchè converga un integrale del tipo in questione è che la funzione integranda sia infinitesima per $ x rarr +oo$ .
Se è infinitesima di ordine $>1 $ allora converge.
No, scusa, questo non mi torna...
Io posso applicare il confronto e quindi ridurre l'integrale dato a $int _1^(+oo)dx/(x^a) $ se e solo se l'integranda è > 0. Altrimenti posso applicare solo
1) l'assoluta convergenza (o integrabilità, che dir si voglia)
2) fare un passaggio di integrazione per parti
3) fare un confronto serie-integrali
La funzione $ sin x^2 $ non è affatto $ > 0$ per $ x ->+oo$...
E poi hai scritto che "condizione necessaria (ma non sufficiente) perchè converga un integrale del tipo in questione è che l'integranda sia infinitesima per $ x -> +oo$", beh, questo è proprio falso. Basta che provi a fare l'integrale dato per $ a = 0$... (sempre per parti)
$int _1^(+oo) sin x^2 dx $ con problema a $ +oo$ CONVERGE!
Avevo considerato $sin^2(x) $ ... invece di $sin(x^2) $.
Per $ a <-1 $ il termine $x^a $ viene al numeratore come $x^(-a)$ e a questo punto $x $ è elevato a una potenza positiva e quindi la funzione integranda diverge per $ x rarr +00 $ e quindi diverge anche l'integrale.
Per $ a <-1 $ il termine $x^a $ viene al numeratore come $x^(-a)$ e a questo punto $x $ è elevato a una potenza positiva e quindi la funzione integranda diverge per $ x rarr +00 $ e quindi diverge anche l'integrale.
$int_1^(+oo) sinx^2*dx $ non converge in quanto il limite per $t rarr + oo$ di $ int_1^t sinx^2 dx $ non esiste.
$ int sin x^2 dx$ = $ 
cos x^2)/(2x)] - int (cos x^2)/(2x^2)dx $ (non ci metto gli estremi di integrazione per fare prima, ma tanto sono sempre quelli)...
Ora $ int (cos x^2)/(2x^2)dx $ lo sappiamo fare e converge assolutamente (cioè converge pure il valore assoluto dopo il confronto con $ int 1/x^2 dx$) e la roba tra parentesi quadre quando fai il limite per $ a ->+oo$ tende a $ cos1/2$.
In quanto somma di un numero e di un integrale convergente, l'integrale dato converge...
E poi per $a<=-1$ l'integrale è indeterminato. Il mio dubbio è su come mostrare che è indeterminato... Sul libro mi propone un confronto serie-integrali col metodo dei rettangolini, io invece farei ancora per parti che si fa prima...
cos x^2)/(2x)] - int (cos x^2)/(2x^2)dx $ (non ci metto gli estremi di integrazione per fare prima, ma tanto sono sempre quelli)...Ora $ int (cos x^2)/(2x^2)dx $ lo sappiamo fare e converge assolutamente (cioè converge pure il valore assoluto dopo il confronto con $ int 1/x^2 dx$) e la roba tra parentesi quadre quando fai il limite per $ a ->+oo$ tende a $ cos1/2$.
In quanto somma di un numero e di un integrale convergente, l'integrale dato converge...
E poi per $a<=-1$ l'integrale è indeterminato. Il mio dubbio è su come mostrare che è indeterminato... Sul libro mi propone un confronto serie-integrali col metodo dei rettangolini, io invece farei ancora per parti che si fa prima...
Non farti ingannare dai limiti, perchè quei procedimenti che stai usando sono buoni SOLO per le serie e non per gli integrali!
In effetti $ int_0^(+oo) sin (x^2)dx $ esiste finito, è l'integrale di Fresnel.
La funzione integranda non è quindi necessario che sia infinitesima per $ x rarr +oo$ ; in questo caso il limite, sempre per $ x rarr +oo,$ non esiste, ma se esiste deve essere $0$.
La funzione integranda non è quindi necessario che sia infinitesima per $ x rarr +oo$ ; in questo caso il limite, sempre per $ x rarr +oo,$ non esiste, ma se esiste deve essere $0$.
"Camillo":
In effetti $ int_0^(+oo) sin (x^2)dx $ esiste finito, è l'integrale di Fresnel.
La funzione integranda non è quindi necessario che sia infinitesima per $ x rarr +oo$ ; in questo caso il limite, sempre per $ x rarr +oo,$ non esiste, ma se esiste deve essere $0$.
Non so cosa sia l'integrale di Fresnel, ma il ragionamento mi torna...
Il problema però resta... Per dimostrare che un integrale risulta indeterminato (caso $a<=-1$) mi basta dimostrare che una parte di esso (il limite che hai visto nel passaggio precedente tra parentesi quadre) non esiste?
O devo per forza ricorrere ad un confronto serie-integrali (che mi pare sinceramente assai più difficile da gestire)?
No, non basta mostrare che una parte di esso non esiste; potrebbe anche non esistere l'altra parte ma darti come somma un integrale che esiste, questo se stai considerando l'integrale di Riemann.
Io seguirei il suggerimento del libro, se dà quello probabilmente è la strada più semplice da seguire.
Io seguirei il suggerimento del libro, se dà quello probabilmente è la strada più semplice da seguire.
Peccato...
Mi puoi fare un esempio di quello che stai dicendo?
"Luca.Lussardi":
No, non basta mostrare che una parte di esso non esiste; potrebbe anche non esistere l'altra parte ma darti come somma un integrale che esiste.
Mi puoi fare un esempio di quello che stai dicendo?
Beh la stessa cosa si vede facilmente per i limiti: se prendi $a_n=(-1)^n$ e $b_n=1-(-1)^n$ allora $a_n$ non ha limite ma $a_n+b_n$ ha limite. Si generalizza facilmente questo controesempio anche a tante altre situazioni, integrali compresi.
"Luca.Lussardi":
Beh la stessa cosa si vede facilmente per i limiti: se prendi $a_n=(-1)^n$ e $b_n=1-(-1)^n$ allora $a_n$ non ha limite ma $a_n+b_n$ ha limite. Si generalizza facilmente questo controesempio anche a tante altre situazioni, integrali compresi.
D'accordissimo!!!A questo punto però sorgono spontanee altre domande (:cry:)
1) Per dimostrare che l'integrale dato NON CONVERGE basta mostrare (con il maledetto confronto serie-integrali) che l'integrale tra due punti consecutivi in cui la funzione si annulla non tende a 0? Se sì, perchè?
2) Per dimostrare che l'integrale dato è INDETERMINATO basta quello di sopra?
P.S. Ma sarà davvero indeterminato?
Nessuno?
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