Integrale improprio parametrico

[Stiletto]

Salve a tutti. Ho un problema con il seguente integrale definito in senso improprio, dal momento che viene richiesto di usare i criteri di convergenza per stabilire per quali valori di alpha (in R) questa si verifichi o meno.

$\int_0^(oo)((x^(\alpha))/((1+(sqrt(x)))(1+x)))dx$

N.B. Quello che segue è frutto della mia fantasia, prima che di regole matematiche.

Prima di tutto ho cercato le condizioni di esistenza della funzione integranda, ovvero $x!=-1$, pensando che fosse giusto assumere anche $x!=0$ quando è $\alpha<0$.

Allora, dividiamo lo studio della funzione in due parti, per $\alpha>=0$ e $\alpha<0$:

1. Se $\alpha>=0$, la funzione non da problemi sull'estremo inferiore d'integrazione, motivo per cui dobbiamo capire il suo comportamento solo per $xrarr(+oo)$.
Sappiamo che:

$lim_(x->+oo)(x^ (\alpha))=+oo$ (eccetto $\alpha=0$)

$lim_(x->+oo)((1+(sqrtx))(1+x))=+oo$

Sia il numeratore che il denominatore sono infiniti per il valore dato, quindi l'integrale converge in $[0,+oo[$ se la funzione è di ordine minore di 1. Cioè se $\alpha-3/2<1$ quindi se $\alpha<5/2$. (o sbaglio?)

Per la condizione posta, l'integrale converge se $0<=\alpha<5/2$

2. Se $\alpha<0$, la funzione può essere riscritta come:

$1/((x^-(\alpha))(1+sqrt(x))(1+x))$

2a. A questo punto, se $x->0$, la funzione si riduce a:

$1/((x^-(\alpha))(1+sqrt(x))(1+x))~~1/(x^-(\alpha))$

che, essendo un infinito, è integrabile in senso improprio se $-\alpha<1$, cioè se $-1<\alpha<0$.

2b. Se $x->+oo$,

$lim_(x->+oo)(1/((x^-(\alpha))(1+(sqrtx))(1+x)))=0$

ovvero è un'infinitesimo che è integrabile se $3/2-\alpha>1$, cioè se $\alpha<1/2$

Insomma, forse è meglio se mi fermo qui, perchè non sono tanto sicuro di aver fatto bene...

[Sk_Anonymous]

Per $[x->0^+]$:

$[x^alpha/((1+sqrtx)(1+x))~~x^alpha]$

Ergo, l'integrale converge se e solo se $[alpha> -1]$.

Per $[x->+oo]$:

$[x^alpha/((1+sqrtx)(1+x))~~x^(alpha-3/2)]$

Ergo, l'integrale converge se e solo se $[alpha-3/2<-1] rarr [alpha<1/2]$.

In definitiva, l'integrale risulta convergente per $[-1

Cita

Segnala

[gugo82]

"Stiletto":Salve a tutti. Ho un problema con il seguente integrale definito in senso improprio, dal momento che viene richiesto di usare i criteri di convergenza per stabilire per quali valori di alpha (in R) questa si verifichi o meno.

$\int_0^(oo)((x^(\alpha))/((1+(sqrt(x)))(1+x)))dx$

N.B. Quello che segue è frutto della mia fantasia, prima che di regole matematiche.

Prima di tutto ho cercato le condizioni di esistenza della funzione integranda, ovvero $x!=-1$, pensando che fosse giusto assumere anche $x!=0$ quando è $\alpha<0$.

Sbagliato.

Ritenta...