Integrale improprio: metodo integrale di Cauchy?
Salve,
Io avrei da stabilire se esiste il seguente integrale improprio:
$\int_{4}^{+\infty}\ [\ln \frac{x-3}{x-1}]^{2}dx$
Ho provato ad applicare il metodo dell'integrale di Cauchy e quindi di stabilire il carattere della serie:
$\sum_{n=4}^{+\infty}\ [\ln \frac{n-3}{n-1}]^{2}$
in particolare, vorrei savere se vale la seguente disuguaglianza:
$[\frac{n-3}{n-1}]^2<[\ln \frac{n-3}{n-1}]^{2}$
Io avrei da stabilire se esiste il seguente integrale improprio:
$\int_{4}^{+\infty}\ [\ln \frac{x-3}{x-1}]^{2}dx$
Ho provato ad applicare il metodo dell'integrale di Cauchy e quindi di stabilire il carattere della serie:
$\sum_{n=4}^{+\infty}\ [\ln \frac{n-3}{n-1}]^{2}$
in particolare, vorrei savere se vale la seguente disuguaglianza:
$[\frac{n-3}{n-1}]^2<[\ln \frac{n-3}{n-1}]^{2}$
Risposte
Io ti consiglierei di vedere l'integranda come
$ln^2(1+(-2)/(x-1))$
e quindi scrivere un paio di relazioni di asintotico
$ln^2(1+(-2)/(x-1))$
e quindi scrivere un paio di relazioni di asintotico
Ok, vediamo:
$[\ln (1+\frac{-2}{n-1})]^2\sim (\frac{-2}{n-1})^2=\frac{4}{n^2+1-2n}\sim \frac{4}{n^2}$
allora la serie è equivalente a $4\sum_{n=4}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$ e quindi converge. Allora l'integrale converge.
Giusto o sbaglio qualcosa?
$[\ln (1+\frac{-2}{n-1})]^2\sim (\frac{-2}{n-1})^2=\frac{4}{n^2+1-2n}\sim \frac{4}{n^2}$
allora la serie è equivalente a $4\sum_{n=4}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$ e quindi converge. Allora l'integrale converge.
Giusto o sbaglio qualcosa?
Dovrebbe andare, anche se non mi pareva necessario passare per le serie
Si, in effetti dopo la sostituzione avrei potuto notare che la funzione è infinita di ordine maggiore o uguale ad un $\alpha>1$ che mi assicurava l'integrabilità.
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