Integrale improprio funzione non limitata
Ciao ragazzi! Mi servirebbe sapere se il seguente integrale improprio si possa svolgere in questo modo (purtroppo non ne ho mai svolti prima di ora...):
$int_(-1)^(1) 1/sqrt(1-x^2)dx$
dunque io lo risolverei in questo modo:
Dato che la funzione non è limitata in nell'intervallo chiuso $[-1;1]$ posso considerare $\forall \delta>0$ tale che f sia integrabile secondo Riemann nell'intervallo $[-1+\delta;+1-\delta]$ e posso dire che $\exists c \in R: int_(-1)^(1) 1/sqrt(1-x^2)dx=int_(-1+\delta)^(0) 1/sqrt(1-x^2)dx + int_(0)^(1-\delta) 1/sqrt(1-x^2)dx$.
A questo punto risolvo l'integrale indefinito e ottengo che $int 1/sqrt(1-x^2)=arcsin(x)$
quindi adesso faccio: $lim \delta->0^+ (arcsin(0)-arcsin(-1+\delta)+arcsin(1-\delta)-arcsin(0)=pi$
E' corretto?
$int_(-1)^(1) 1/sqrt(1-x^2)dx$
dunque io lo risolverei in questo modo:
Dato che la funzione non è limitata in nell'intervallo chiuso $[-1;1]$ posso considerare $\forall \delta>0$ tale che f sia integrabile secondo Riemann nell'intervallo $[-1+\delta;+1-\delta]$ e posso dire che $\exists c \in R: int_(-1)^(1) 1/sqrt(1-x^2)dx=int_(-1+\delta)^(0) 1/sqrt(1-x^2)dx + int_(0)^(1-\delta) 1/sqrt(1-x^2)dx$.
A questo punto risolvo l'integrale indefinito e ottengo che $int 1/sqrt(1-x^2)=arcsin(x)$
quindi adesso faccio: $lim \delta->0^+ (arcsin(0)-arcsin(-1+\delta)+arcsin(1-\delta)-arcsin(0)=pi$
E' corretto?
Risposte
"atomr902":
E' corretto?
Il risultato è corretto. Avresti ottenuto lo stesso risultato osservando che la funzione integranda è una funzione pari integrata su un intervallo simmetrico, per cui si ha:
$int_(-1)^(1) 1/sqrt(1-x^2)dx = 2 int_(0)^(1) 1/sqrt(1-x^2)dx = 2 [arcsin(x)]_0^1 = 2 \cdot frac{pi}{2} = \pi $
Va bene, grazie mille pilloeffe! Solo un'ultima domanda: anche il ragionamento è corretto?
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